Tip:
Highlight text to annotate it
X
اليوم سنقوم بعَدّ اللانهاية،ربما يبدو العد شيئًا سهلا كمِثل قولنا
لدينا خمسة خراف،ما نعنيه هو أننا لدينا خروف واحد لكل عدد من واحد إلى خمسة
وعشرة خراف تعني خروفًا لكل عدد من واحد إلى عشرة ،أو من اثنين لأحد عشر
إذا كانت لدينا مجموعتان لهما نفس عدد العناصر ببساطة يمكنك أن ترسم خطًا
يربط كل عنصرٍ في المجموعة الأولى بآخرَ في المجموعة الثانية والعكس أيضا ، مرة واحدة فقط
الآن الأعداد مترافقة
نفس الشيء عندما نقول أن اثنان و واحد يساوي ثلاثة أو أن ثلاثة لا تساوي أربعة:
نحن فقط نوضح عدد الخطوط التي تُرسم لوضع علاقة بين مجموعة من الأشياء ومجموعة أخرى
كأن نقول :لو كان لدينا خروف لكل عدد بين 0 و2 ،هل سيكون عدد الخراف أكبر
لكن أيضا عدّ الخراف ممل جدا ،إلا إذا كنت تريد عدَّ الخراف إلى لا نهاية
مما لو كان لدينا خروف لكل عدد بين صفر و واحد؟ لا ،لأنك تستطيع وصل كل عدد
بين 0و 1 لضِعفه،مما سيعطيك كل عدد يقع بين 0 و 2 (وإذا أردت أن تتراجع
فقط ستقوم بقسمة كل عدد بين 0 و 2 على اثنين لتسترد
كل الأعداد بين 0 و 1)
لكن بين الصفر والواحد هناك أعداد حقيقية أكثر من الأعداد اللانهائية الموجودة في مجموعة الأعداد الصحيحة
1 و2 و 3 و 4....إلخ لكن كيف يمكننا معرفة ذلك؟!،فقط ارسم بعض الخطوط
من "1" إلى عدد يقع بين 0 و 1 و خطًا آخر من "2" إلى عدد آخر
يقع بين صفر و واحد، ومن ثلاثة إلى عدد آخر بين صفر و واحد ،وهكذا دواليك
لكن، مهما كان عدد الأعداد بين صفر و واحد التي رسمنا لها خطوطًا،سنستطيع دائمًا
كتابة عدد يقع بين صفر و واحد ،يختلف في الخانة الأولى أو الخانة الثانية
أو الخانة الثالثة ،وهكذا ،العدد الجديد سيختلف
عن "جميع" الأعداد التي قد رسمنا لها خطوطا و سنكون قد رسمنا خطوطا من جميع الأعداد
الصحيحة ،ولن يتبقى عدد صحيح ليرافق هذا العدد !
فدائما بإمكاننا إيجاد عدد إضافي وحيد لا يتكرر ،
مثل هذا بغض النظر عن الأعداد التي اخترناها من قبل مما يعني أننا لن نستطيع أبدا رسم خطوط
من مجموعة الأعداد الصحيحة لجميع الأعداد بين صفر و واحد مع خط واحد فقط لكل عدد صحيح
وهذا يعني فعلا أن عدد الأعداد الحقيقية بين صفر و واحد أكبر من عدد الأعداد
في مجموعة أعداد العد 1 ،2 ،3 ،4 ،5 ،6 .....وهكذا بشكل لا نهائي
لذا وياللعجب ! ،بعض اللانهايات أكبر من لانهايات أخرى