Tip:
Highlight text to annotate it
X
اسمي لودويغ شلَيـفلي Ludwig Schläfli،
أنا مهندس سويسيري.
وقد عشت خلال القرن التاسع عشر
سأفتح لكم باب البعد الرابع!
ينبغي ألا نخشى الكلمات، فأنا أتنبأ بالمستقبل.
أنا من الأوائل الذين أدركوا
أن الفضاءات الكثيرة الأبعاد
موجودة فعلا
وأنه بالإمكان دراسة هندستها.
الكائنات المسطّحة التي تعيش في المستوي
يمكن أن تدرك وجود متعددات الوجوه الثلاثية الأبعاد.
لماذا لا نستطيع إدراك متعددات الوجوه الرباعية الأبعاد؟
إن إحدى إسهاماتي البارزة
كانت تتمثل في وصف كل متعددات الوجوه المنتظمة الرباعية الأبعاد.
ما هو البعد الرابع؟
لقد كُتِب الكثير حول هذا الموضوع،
وصال فيه كتاب قصص الخيال العلمي وجالوا!
سأوضح لكم الأشياء على السبورة.
سترون أن هذه السبورة أشبه بلوح سحري.
المهمّ هو أن نحضّر أنفسنا للتجرّد من العالَم
الذي ألفناه
وأن نتخيّل عالَما
لا تمكننا أعيننا وحواسنا من النفوذ إليه مباشرة.
سنكون مجبرين على التحايل كما تفعل الزواحف.
سأصعد فوق مرتفع،
ولسوء الحظ، فلن تروه،
وعندئذ سأحاول أن أشرح لكم ما سأشاهد.
لكن، قبل ذلك، أرسمُ مستقيما على السبورة.
أرسمُ عليه نقطة المبدأ.
كل نقطة من هذا المستقيم
يمكن تحديدها من خلال المسافة التي تفصلها عن نقطة المبدأ،
مسبوقة بالإشارة "ناقص" إن كانت النقطة عن اليسار
وبالإشارة "زائد" إن كانت عن اليمين.
من عادتنا أن نرمز لهذا العدد بـ x
ونسميه فاصلة.
لما كان موقع نقطة على مستقيم
محدّدا بعدد واحد،
فإننا نقول إن المستقيم وحيد البعد.
أرسمُ الآن محورا ثانيا،
يعامد المستقيم الأول.
كل نقطة من مستوي السبورة
محددة تماما، الآن، بعددين
نرمز إليهما عادة بـ x و y : الفاصلة والترتيب.
نقول إن المستوي ثنائي البعد.
إذا كان عليكم أن تشرحوا لمخلوق يقطن على مستقيم
ما هي نقطة من المستوي، وهولا يعرف المستوي،
يمكنكم بكل بساطة أن تقولوا له
"نقطة من المستوي، هي فقط ثنائية عددين".
لننتقل إلى البعد الثالث.
الطبشور يكتب في الفضاء
ويرسم محورا ثالثا، عموديا على المحورين الآخرين.
نحدد نقطة في الفضاء بثلاثة أعداد،
x ، y وz .
نستطيع أن نقول للزواحف،
الراغبة في معرفة ما هو عالمنا :
"نقطة في الفضاء ما هي سوى ثلاثية من الأعداد".
لنشرع في توضيح البعد الرابع.
يمكننا بطبيعة الحال محاولة رسم محور رابع
يعامد المحاور الأخرى، لكنّ ذلك مستحيل!
إذن، علينا أن نبحث عن كيفية أخرى.
بطبيعة الحال، يمكن أن نقول بكل بساطة
إن نقطة في الفضاء الرباعي الأبعاد،
هي رباعية أعداد x، y ،z ، t.
لكن هذا لا يزيدنا وضوحا في الرؤية إلا قليلا!
دعونا نحاول العمل على
توفير رؤية حدسية لهذه الهندسة رغم كل ذلك.
هناك طريقة أولى لفهم ما يجري
تتمثل في المقارنة والتشبيه.
إليكم قطعة مستقيمة...
... ثم مثلثا متقايس الأضلاع...
وأخيرا رباعي وجوه.
تسمح لنا سبورتنا السحرية برسمه في الفضاء.
كيف يمكن مواصلة العمل في حالة البعد الرابع؟
يمكن أن نلاحظ أن القطعة المستقيمة والمثلث ورباعي الوجوه،
لها رأسان، 3 رؤوس، و 4 رؤوس على التوالي.
ولذلك نستطيع أن نحاول مع 5 رؤوس!
لنحاول.
نلاحظ في القطعة المستقيمة والمثلث ورباعي الوجوه،
أن كل حرف يصل الرؤوس مثنى مثنى.
علينا أن نصل الرؤوس الخمس فيما بينها.
لنعُدْ
حرف
حرفان، ... ثلاثة، أربعة، 5، 6، 7، 8، 9، 10 أحرف.
في رباعي الوجوه،
هناك وجه مثلثي لكل ثلاث رؤوس.
لنتبع نفس الفكرة،
هذا يعطينا وجها مثلثيا
وجهين، 3، ...، 10 وجوه.
لكننا حين نواصل بطريقة تعتمد على التشبيه،
ينبغي علينا إضافة وجه رباعي الوجوه
لكل رباعية رؤوس
ومن ثمّ نجد 5 وجوه من هذا القبيل.
وهكذا، فقد أنشأنا كائننا الرباعي الوجوه.
لنطلق عليه مصطلح "بُسَيِّط"!
ولندِرْه في الفضاء
كما أدرنا رباعي الوجوه.
بطبيعة الحال، ينبغي أن نتخيّل أن البُسَيِّط يدور
في فضاء رباعي الأبعاد
وأن ما نشاهده ليس سوى إسقاط على السبورة.
وهو ما يعقّد الأمور قليلا،
ذلك أن الوجوه تتداخل وتتقاطع.
نعم، لا بد من التزوّد ببعض التجربة حتى نتمكن من المشاهدة في حالة البعد الرابع.
يمكننا اعتبار البُسَيَّط،
الموجود في البعد الرابع،
ثم نزيحه حتى يتقاطع
تدريجيا مع "فضائنا" الثلاثي الأبعاد.
وبنفس الكيفية التي كانت فيها الزواحف
تشاهد مضلعا يظهر ثم يختفي،
نحن نرى متعدد وجوه ثلاثي الأبعاد
يظهر، ثم يتشوّه، ثم يختفي.
ها هو البُسَيَّط يخترق فضاءنا الثلاثي الأبعاد.
سنقوم الآن بالتعرف على
متعددات وجوه أخرى رباعية الأبعاد
تخترق فضاءنا الثلاثي الأبعاد.
ها هو المكعب الزائدي، الذي يعمم المجموعة
التي تبدأ بالقطعة المستقيمة، ثم المربع، ثم المكعب.
ينبغي أن نعترف بأن بلوغ درجة من الحدس من خلال طريقة القطوع
التي استعملناها آنفا ليس أمرا يسيرا...
لقد اكتشفت ما يماثل المجسمات ذات الـ 20 وجها والـ 12 وجها.
إنها تحمل أسماء معقدة
لكني سأكتفي بتسمية الأول ذا الـ 120 والثاني ذا الـ 600.
لأن للمجسم الأول 120 وجها، وللثاني 600 وجه.
انظروا إلى ذي الـ 120، دائما عندما يخترق فضاءنا.
وها هو ذو الـ 600.
بطبيعة الحال، فكلما قلت إن لمتعدد وجوه رباعي الأبعاد 600 وجه،
فإني أعني وجوهه الثلاثية الأبعاد.
نعم، فهذه الوجوه الـ 600 هي رباعيات وجوه.
أما ذو الـ 120، فهو مكوّن من 120 مجسما، كل منها ذو 12 وجها!
سنتعلم فيما بعد كيف نتعرف عليها بشكل أفضل.
حتى نشاهد هذه الكائنات الرباعية الأبعاد
بأعيننا الثلاثية الأبعاد،
يمكن أن نستغل ظلالها.
الكائنات متواجدة في فضاء رباعي الأبعاد
ونحن نسقطها على فضائنا الثلاثي الأبعاد،
تماما كما يسقط الفنان مشهدا طبيعيا على لوحته.
ذلك ما قمنا به في حالة البُسَيِّط.
ها هو المكعب الزائدي.
بطبيعة الحال، فهو يدور في الفضاء
حتى نتمكن من التأمل في تفاصيله.
أنتم ترون مثلا أن للمكعب الزائدي 16 رأسا.
وهذا كائن صغير.
إنه أجمل اكتشافاتي.
سأسمي هذا الكائن ذا الـ 24
كائن ليس له مثيل في الحالة الثلاثية الأبعاد.
إنه مخلوق رباعي الأبعاد محض
أنا جدّ فخور باكتشافه.
تمتعوا بالمشهد ! 24 رأسا و 96 حرفا و 96 مثلثا و 24 ثماني وجوه.
إنه جوهرة !
ها هو ظل ذي الـ 120
في كل أبّهته !
إنها أبّهة معقدة، لا بد من الإشارة إلى ذلك !
دعونا نلج داخله وندرس بنيته.
تمتعوا : 600 رأسا و 1200 حرفا.
من كل رأس تنطلق 4 أحرف.
إنها بنية منتظمة تماما.
كل الرؤوس وكل الأحرف تؤدي نفس الدور.
وهنا أيضا، فإن الإسقاط يكسر بشكل معين انتظام المجسم.
المطلوب منكم المزيد من التخيّل
تخيّلوا الكائن في الفضاء الرباعي الأبعاد
الذي تقوم فيه زمرة من الدورانات
بعملية تبديل لكل هذه الرؤوس والأحرف.
ها هو البطل، ذو الـ 600.
إنه أشبه بجزيء ضخم
بأحرفه الـ 720 ورؤوسه الـ 120.
12 حرفا تنطلق من كل رأس.
لكن مغامرتنا مع متعددات الوجوه
الرباعية الأبعاد لن تنتهي عند هذا الحد
لأننا نكاد نجزم بأن مسا قطها المجسامية
ستمنحنا المزيد من الحدس.