Tip:
Highlight text to annotate it
X
رأينا في العرض الاخير انه اذا كان لدينا خط ما
معرف على انه جميع مضاعفات متجه ما
--سأكتبه بهذه الطريقة--
كمية المضاعفات، بكل وضوح
عبارةعن اي عدد حقيقي
لقد قمنا بتعريف التحول، ولم اتحدث عنه كثيراً
من حيث التحولات، لكنه كان كذلك
لقد قمنا بتعريف الاسقاط المتولزي على ذلك الخط L
كتحول
في هذا العرض، رسمناه كتحولات خلال R2،لكنه
يمكن ان يكون، وبشكل عام، تحول من Rn الى Rn
عرفناه على انه، اسقاط متوازي لـ x على L
يساوي الجداء القياسي لـ x، مع تحديد هذا المتجه
x . هذا المتجه المحدد / ذلك
المتجه المحدد بنفسه
كل هذا مضروباً بالمتجه المحدد للخط
كان هذا تعريفنا
مجموعة اشياء يمكن ان تظهر عندما
نرى هذا لأول مرة
متى تقوم بقياس متجه بنفسه، كم يساوي هذا؟
نحن نعلم انه اذا اخذنا متجه ما، وقمت بقياسه مع
نفسه، فهذا يساوي طول
مربع المتجه
يمكننا ان نعيد كتابته ليساوي المتجه القياسي v x /
طول v^2، كل هذا مضروباً بـ v
سيكون من الرائع لو كان طول v يساوي 1
طول v يساوي 1
اذا كان طول v يساوي 1، او ان هذه طريقة اخرى لنقول
ان، v عبارة عن متجه الوحدة
صيغة الاسقاط التي لدينا
تبسط الى المتجه القياسي v x
كل هذا مضروباً بـ --هذا سيكون عدد مدرج--
× v
ستقول، كيف نعرف ما اذا كان هذا
متجه الوحدة ام لا
ما يمكن ان تدركه هو ان اي --دعوني ارسمه بهذه الطريقة--
عندما رسمته في العرض السابق، قمت باختيار
خط كهذا
الخط يمكنه ان يعرف لهذا المتجه v في الخط
يمكنه ان يكون اي من هذه المتجهات التي يحتويها الخط
المتجه v يمكن ان يكون هكذا
دعونا نفترض ان احد ما اعطاك المتجه v وهو
ليس متجه وحدة
لنفترض ان طول v لا يساوي 1
كيف يمكنك ان تعرف الخط باستخدام متجه وحدة ما
يمكنك ان تقوم بتطبيع v
يمكنك ان تعرف متجه وحدة ما هنا
بامكانك ان تعرف متجه ما هنا
دعونا نسميه u، وسأقول انه متجه وحدة
هذا يساوي 1 / 1 / طول v × v
لقد وضحت لكم هذا في عرض متجه الوحدة
يمكنكم انشاء متجه وحدة يمر بنفس
اتجاه اي متجه، وذلك عن طريق القسمة
او بالضرب على ما اعتقد، ذلك المتجه
× 1 / طوله
بشكل عام، يمكننا دائماً ان نعيد تعريف الخط
جميع المضاعفات المتدرجة والممكنة لـ v ستكون
نفس جميع المضاعفات المتدرجة
لمتجه الوحدة u، وهو عبارة عن مضاعف متدرج لـ v
يمكننا اعادة تعريف الخط
واذا اعدنا تعريف الخط الذذي لدينا، وهو L، حتى يكون مساوياً لجميع
المضاعفات المتدرجة الممكنة لمتجه الوحدة، حيث ان
المتدرجات عبارة عن اي اعداد تنتمي للاعداد الحقيقية
يمكن تبسيط تعريفنا للاسقاط قليلاً
الاسقاط المتوازي لـ x على L يصبح قياس المتجه x . متجه الوحدة
× متجه الوحدة، × متجه الوحدة نفسه
تلك الحالة التي قمت بحلها في عرض سابق، حيث كان لدي
هذان المتجهان
حيث قلت ان المتجه v الذي يعرف الخط، اعتقد انه
كان المتجه 2, 1
كان المتجه x يساوي 2, 3
اذا اردتم فعل هذا التعريف، سيكون علينا ان
نحول هذا الى متجه الوحدة اولاً
وطريقة تحويله الى متجه الوحدة، ان نجد
الحجم
في هذه الحالة كم يساوي حجم v؟
2^2 + 1^1 = 1
نأخذ الجذر التربيعي لذلك
دعوني اكتب
= الجذر التربيعي لـ 2^2 + 1^1، ما
يساوي الجذر التربيعي لـ 5
يمكنك تعريف u --متجه الوحدة يمكن ان يكون 1
مقسوماً على هذا، × ذلك
1 / الجذر التربيعي لـ 5 × 2, 1
يمكنك ان تضربه، او لا تضربه
يمكنك ان تتركه بهذا الشكل
يمكنك دائماً، لأي متجه v، يمكنك دائماً ان تجد
متجه وحدة يمر بنفس الاتجاه، على افتراض اننا
نتعامل مع متجهات غير صفرية
يمكنك دائماً ان تقلل اي شيئ كهذا، الى
تعريف آخر، كهذا
حيث ان هذا نموذج لمتجه الوحدة
للمتجه v
لقد قلت ذلك، انظر، هذا
تحول من Rn الى Rn
الشيئ الوحيد الغير متأكدين منه، هل هذا
تحول خطي
يمكننا دائماً ان نكتبه هكذا
دعونا نرى اذا سيكون هذا دائماً
تحول خطي
هناط شرطان يجب ان يتحققا حتى يكون تحول خطي
دعونا نرى ماذا سيحدث اذا اخذت الاسقاط المتوازي على L
لمتجهين
دعونا نفترض ان المتجه a + المتجه v
اذا اخذت مجموع متجهاتهما
اذا كان هذا التحول خطي، فيجب ان يكون
مساوياً لأخذ كل من اسقاطاتهما المتوازية
على حدة، ومن ثم نجمع
دعونا نرى اذا كانت هذه هي الحالة
هذا يساوي، من خلال تعريفنا، سنستخدم
صورة متجه الوحدة، لأنه الابسط
هذا يساوي a + b --هذا هو u .-- x
ثم، جميع ذلك مضروباً بمتجه الوحدة
نحن نعلم ان الجذاء القياسي يمتلك خاصية توزيعية
اذاً هذا مساوياً لـ a . u + b . u
هذه هي متجهات الوحدة
كل هذا مضروباً بالمتجه u
هذه عبارة عن اعداد متدرجة
اذاً الضرب المتدرج يمتلك خواص توزيعية
هذا يساوي a . u، × المتجه u
تذكروا، هذا سيكون تدرج ما
+ b . u × متجه الوحدة u
كم يساوي هذا؟
هذا الذي على اليمين يساوي الاسقاط المتوازي لـ a
وهذا يساوي الاسقاط المتوازي لـ a على L، حسب
التعريف، هنا
بحسب هذا التعريف
اذا افترضنا اننا نتعامل مع تعريف متجه الوحدة
للخط
هذا يساوي، هذا الشيئ الموجود هنا كله، يساوي
+ الاسقاط المتوازي علىى L للمتجه b
كما نرى فإن اول شرط ليكون
تحول خطي قد تحقق
الاسقاط المتوازي لمجموع المتجهات يساوي مجموع
الاسقاطات الخطية للمتجهات
الشرط الثاني، يجب على الاسقاط الخطي
للمضاعف المتدرج ان يكون مساوياً للمضاعف المتدرج
للاسقاط المتوازي
دعوني اكتب هذا
ما هو الاسقاط المتوازي على L لبعض المضاعفات المتدرجة
للمتجه a
هذا يساوي ca . متجه الوحدة u
× متجه الوحدة u
هذه مباشرة بعض الشيئ
هذا المضاعف المتدرج
نراه في خصائص الجداء القياسي، هذا يساوي c
× a . u، × المتجه u
هذا يساوي c ×، هذا الموجود هنا، وهو
الاسقاط المتوازي لـ a على L
لقد تعرضنا لكلا شرطينا للتحولات الخطية
نحن نعلم ان الاسقاط المتوازي على الخط L في Rn عبارة عن
تحول خطي
يوضح لنا انه يمكننا تمثيله
كتحول مصفوفة
نحن نعلم ان الاسقاط المتوازي لـ x على L، نعلم بالفعل ان هذا
التعريف يمكن اعادة كتابته
ليس من الصعب اعادة كتابته
بصورة x . متجه وحدة ما يعرف الخط
دعوني ارسمه بقبعة صغيرة توضح
انه متجه وحدة
× متجه الوحدة نفسه، حتى
نحصل فعلياً على متجه
كيف يمكنني ان اكتبه بصورة ناتج مصفوفة ما
ناتج متجه مصفوفة ما
اريد ان اكتبه بصورة ناتج
مصفوفة ما × x
لتبسيط الاشياء، بما اننا نتعامل مع
مصفوفة، دعونا نحدد نفسنا بحالة R2
انني افترض ان الاسقاط المتوازي على L
سيكون تعيين من R2 الى R2
يمكنك ان تفعل ما افعله هنا باستخدام
بعد عشوائي
اذا فعلنا هذا في R2 بالتالي ستكون المصفوفة A، هنا
ستكون مصفوفة 2 × 2
لقد رأينا في عدة عروض انه حتى نجد المصفوفة
A، نأخذ مصفوفة الوحدة التي تحتوي على
متجهات قاعدة نموذجية كالاعمدة
0, 1
او 1, 0 ومن ثم 0, 1
ونطبق التحول لكل من
هذه الاعمدة
يمكن ان نقول ان A سيساوي --انه اول
عامود سيكون مساوياً للاسقاط المتوازي على L لهذا
الشيئ هنا
سأفعل هذا باللون البرتقالي، هنا
كم يساوي هذا
سيساوي هذا . u
دعوني اكتب الـ u
متجه الوحدة لدي، دعوني افترض ان u يمكن ان تعاد كتابته
كمتج الوحدة ويساوي مجموع u1 و u2
هكذا
احتاج لأن آخذ هذا . متجه الوحدة، دعوني
اكتب هذا
دعوني اكتبه على هذا الجانب
الشيئ الاول الذي اريد فعله هو ايجاد
الاسقاط المتوازي --الاسقاط المتوازي على L، دعوني
اكتب بهذه الطريقة
نحن نعلم ان الاسقاط المتوازي مساوياً لهذا . هذا ×
ذلك المتجه
دعوني اكتب هذا
المتجه 1, 0 . متجه الوحدة u
وهو u1, u2
نريد الحصزل على هذا × متجه الوحدة
سأكتبه بهذه الطريقة
× المتجه u1, u2
هذا سيكون العامود الاول في
مصفوفة التحول
العامود الثاني سيكون نفس الشيئ، لكنني لست
جاهزاً لأخذ الاسقاط المتوازي لهذا
تعريف الاسقاط المتوازي هو ان تقيس هذا
بمتجه الوحدة
اذاً نقيسه
الجداء القياسي لـ 0, 1
0, 1 . متجه الوحدة . u1, u2
سأضرب هذا بمتجه الوحدة
× u1, u2
يبدو هذا معقداً جداً، لكنه يجب ان يبسط عندما
نحاول ان نجد مصفوفة التحول
لنفعل ذلك
على ماذا سأحصل عندما اقيس هذان؟
دعوني اكتب هذا
المصفوفة A تصبح u1 + 0 × u2 × 1
هذا يساوي u1
هذا كله يبسط الى u1، عندما آخذ
ناتج قياس هذان
× u1, u2
هذا سيكون العامود الاول
العامود الثاني، اذا قست هذان، سأحصل على 0 ×
u1 + 1 × u2
اذاً سأحصل على u2 × متجه الوحدة، اي u1, u2
اذا ضربت هذه، فك سيكون الحاصل؟
يمكنني ان اكتبهم بصورة اعمدة، u1
× u1 = u1^2
u1 × u2 = u1, u2
u2 × u1 = u2 × u1
ثم، u2 × u2 = u2^2
تعطيني اي متجه وحدة وسأعطيك
التحول الذي يعطيك اي اسقاط متوازي من اي
متجه آخر على الخط معرفاً بذلك
كانت هذه طريقة طويلة جداً للوصول الى ذلك
دعونا نعود للوراء لما فعلته في السابق
دعونا نفترض اننا نريد ايجاد اي اسقاط متوازي على الخط، على
المتجه، سأرسمه هنا
سنحل نفس المثال الذي قمنا بحله في آخر عرض
اذا كان لدي المتجه v والذي يبدو هكذا
لقد قلنا ان المتجه v كان مساوياً للمتجه 2, 1
هذا كان المتجه v
كيف يمكننا ان نجد تحول
الاسقاط المتوازي على الخط والمعرف بـ v؟
على هذا الخط
الخط المعرف بـ v
ما يمكننا فعله اولاً هو تحويل v الى متجه وحدة
يمكننا ان نحول v الى متجه وحدة بحيث
يمر بنفس الاتجاه
متجه الوحدة u
لقد فعلنا هذا في الاعلى
عندما قسمنا bv
على طوله
دعونا نأخذ v ونقسمه على طوله
متجه الوحدة عبارة عن هذا، 1 / الجذر التربيعي لـ 5
× المتجه v
كان 1 / الجذر التربيعي لـ 5 ×
المتجه v ، اليس كذلك؟
نبدأ بمتجه الوحدة هنا
ننشئ هذه المصفوفة، ومن ثم سنحصل على
مصفوفة التحول
اذا كان هذا u الذي لدينا، فكم ستساوي المصفوفة؟
هذا u
ستساوي المصفوفة u1^2
كم ناتج u1^2؟
دعوني اكتب u، ليس بزاوية
المتجه u، اي متجه الوحدة الذي يعرف هذا الخط
يساوي المتجه 2 / الجذر التربيعي لـ 5 و 1 /
الجذر التربيعي لـ 5
لقد قمت بضرب هذا التدرج
اذا اردنا ان ننشئ هذه المصفوفة، سنحصل على A =
u1^2
كم يساوي مربع هذا؟
2^2 = 4، / الجذر التربيعي لـ 5^2
اي يساوي 5
= 4 / 5
كم ناتج u1 × u2؟
2 × 1 / الجذر التربيعي لـ 5 × الجذر التربيعي لـ 5
اذاً 2/5
لقد قمت بضرب هذان
كم حاصل u2 × u1
نفس الشيئ
الترتيب لا يهم عندما نضرب
هذا ايضاً سيكون 2/5
كم ناتج u2؟
1^2 / الجذر التربيعي لـ 5^2 = 1/5
الآن يمكننا ان نقول --وهذا الشيئ المتقن عند انشاء
هذه المصفوفات، ان الاسقاط المتوازي-- دعونا نفترض ان لدينا
بعض، لنفترض ان هذا الاصل، لدينا
متجه x آخر هنا
يمكننا الآن ان نعرف التحول
الاسقاط المتوازي على L، حيث ان L = اي
مضاعف متدرج من متجه الوحدة u
انه هنا
عبارة عن عنصر من الاعداد الحقيقية
هذا هو الخط L
الاسقاط المتوازي على L لأي متجه x
يساوي هذه المصفوفة
اي يساوي المصفوفة 4, 5, 2/5, 2/5, 1/5 × x
وهو عبارة عن ناتج ممتاز، بالنسبة لي على الاقل
ومرة اخرى قمنا بتقليل كل شيئ الى
مضاعف مصفوفة
نأخذ هذا الـ x ونضربه بهذه المصفوفة
ونحصل على اسقاطها المتوازي على
L، اي على الخط
اذا اخذت هذا المتجه، دعونا نفترض انه a، ونضربه
بهذه المصفوفة، وستحصلون على
اسقاطها المتوازي
اسقاطها المتوازي على الخط
اذا امكنك ان تأخذ هذا المتجه --لا، يجب ان يمر
بنقطة الاصل
اريد ان ارسمه بمكان نموذجي
اذا اخذت هذا المتجه، وضربته
بهذه المصفوفة، فسوف تحصل على هذا المتجه، هنا
وهذا موجود في الخط
عندما تطرحه من هذا، اي مصفوفته المتعامدة
نحن نعلم التعريف
انه نوعاً ما ظل لذلك المتجه
على اي حال، اعتقد ان هذا عرضاً متقناً