Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
لقد وصلنا الى المسألة رقم 48
ومضمونها انه اذا اضيف x^2 الى x، فإن المجموع يكون 42
دعونا نكتب هذا
اذا اضيف x^2 الى x، فإن المجموع يساوي 42
فأي من الاعداد التالية يكون قيمة لـ x؟
اذاً المطلوب منا ان نحل هذه المعادلة
لذا فإن الطريقة الابسط للقيام بذلك هي ان نكتبها كمعادلة
تساوي 0 ومن ثم نحللها الى عواملها
اذاً يمكننا ان نكتب هذا كالتالي x^2 + x - 42
= 0
ودعونا نفكر
ما هما العددان اللذان عندما مجموعهما يساوي 1، وعندما
اضربهما يكون الحاصل -42؟
وحقيقة انه عندما اضربه يكون الحاصل -42
تخبرني ان واحداً منهما يجب ان يكون موجباً والآخر
يجب ان يكون سالب
ان الطريقة الوحيدة هي عندما نضرب عنددان
ونحصل على عدد سالب
اذاً واحداً منهم يجب ان يكون موجب، والآخر يجب ان
يكوب سالب
ولذلك عندما نجمع عدد موجب وسالب
سوف نجد الاختلاف بين الاثنان
اذاً الفرق بين العددين يجب ان يكون 1 و
حاصل ضربهما يجب ان يكون 42
والاحظ عندما ارة 42
فأفكر مباشرة بـ 6 و 7
6 × 7 = 42
وبما انه عندما نجمعهم سنحصل على موجب 1، فإن 7
على الارجح هو العدد الموجب و -6 او 6 هو
العدد السالب
دعونا نجرب هذا
(x + 7) (x - 6) = 0
وهذا صحيح لأن 7 × -6 = -42
حقاً ان 7x + - 6x = موجب x
او يمكنك ان تفكر بأن 7 + -6 =
معامل x، وهو 1
لكن على اي حال، لقد نجح هذا
ويمكنك ان تضرب هذا وتجرب
وكل شيئ قد قلته لا يعتبر شعوذة
وسبب انني قلت ان مجموعهم يجب ان يكون 1 هو
لأنه عندما نضرب هذا، فإنه ما
يكون هذه العبارة
هذه الـ 7 × x + الـ 6 × x الاخرى
هذا هو ما يكون هذه العبارة عندما نضربه
اتت هذه العبارة من x × x
الـ -42 اتت من 7 × -6
على اي حال، نحن الآن في هذه النقطة
نقول حسناً، كيف نحصل على --لدينا شيئان عندما
نضربهما نحصل على 0
حسناً، هذا يعني انه واحد منهما او كلاهما يجب ان
يكون حاصلهما 0
هذا يعني ان x + 7 = 0، ما يعني
ان نطرح 7 من كلا الطرفين
والذي يعني ان x = -7
او ان x - 6 = 0
نضيف 6 لكلا الطرفين، فتكون x = 6، اي ان قيمة x
اما ان تكون 6 او -7
ولدينا واحد من الخيارات هنا
وهو الخيار A
المسألة التالية
49
ما هي الكمية التي يجب ان تضاف الى طرفي هذه المعادلة
حتى نكمل المربع؟
عندما نكمل المربع سنحتاج الى شيئ
يبدو --نريد وضعه في الجانب الايسر
لكي يبدو كمربع كامل
وما الذي اعنيه بمربع كامل؟
اذا كان لدي (x + a)^2، فإن هذا يساوي (x + a)
× (x + a)
وذلك يساوي x × x، اي x^2
x × a = ax
والآن a × x
هذا حاصله ax ايضاً
+ a × a
ويساوي a^2
وذلك يساوي x^2
+ --لدينا اثنان من هذا الآن-- + 2ax + a^2
اذاً نحن نريد هذا، نريد الجانب الايسر لكي
نحصل على هذه الصورة
لذا نقول، ان هذا مربع كامل
يمكننا ان نقول انه يعادل ( x + a)^2
لذا دعونا نفكر في كيفية فعل هذا
اذا كان لدينا x^2 - 8x = 5 ووضعت
فراغاً هنا لسبب ما لأننا نريد ان نجمع او
نطرح شيئ من هنا، لذا فهو يبدو كمربع كامل
دعونا نفكر بها
عندما تكون لدينا هذه الصيغة، لكي تصبح
مربعاً كاملاً، مهما كانت قيمة هذا المعامل هنا
فإن هذه العبارة يجب ان تكون نصف هذه
اي a^2 نصف 2a^2
فاذا اخذنا نصف -8، اي -4
في هذه الحالة، اذا قلت ان 2a = 8، فإن a
= -4
وكم ناتج -4^2؟
انه موجب 16
وهذه معادلة
وما تفعله لجانب واحد من المعادلة عليك ان تفعله
للجانب الآخر من المعادلة
علينا ان نقول ان هذا ايضاً متساوي
علينا ان نضيف 16 لكلا الطرفين
والا ستغير من المعادلة
الآن هذا، اتمنى انكم تدركون ان هذا
مربع كامل
اعني انه يمكنكم ان تنظروا الى هذا النمط هنا او بامكانكم ان
تقولوا، حسناً، اذا اضفت -4 الى نسفها مرتين سأحصل على -8
اذا ضربتها بنفسها سأحصل على 16
اذاً هذا (x - 4)^2
ذلك يساوي 25
وفي الواقع، اذا مهتماً فقط --وقد قمنا بهذا في
خان اكاديمي، لقد صممت العديد من العروض على هذا--
هكذا تثبت المعادلة التربيعية
تقومباكمال المربع بأعداد عشوائية
a, b, و c، وتحصل على معادلة تربيعية
كما تعلمون، فإنه يمكنكم ان توضحوها خلال 10 دقائق، لذا هي ليست
بغاية الصعوبة للفهم
انهم يرغبون بمعرفة ما الذي تضيفه لطرفي
هذه المعادلة؟
ما هو المقدار الذي يجب اضافته لطرفي هذه المعادلة
حتى نكمل المربع؟
اذاً اجابة هذا السؤال هو 16
لكن بشكل مشابه بامكانهم ان يقولوا، قوموا بحلها عن طريق
اكمال المربع
وستقول حسناً، (x - 4)^2 = 25
اذاً x - 4 = موجب او سالب 5
ثم يمكنكم ان تقولوا، ان x = موجب او
سالب 5 + 4
وبامكانكم ان تقولوا، حسناً، 4 +
موجب 5 = 9
و 4 + -5 = --او، -1
على اي حال، لم يطلب منا ذلك، لذا ليس علينا ان
نفكر فيه لمدة طويلة
.
دعوني ارى، لقد وصلنا الى المسألة 50
دعوني ارى، المسألة رقم 50
سوف اقوم بنسخ ولصق 50 و 51
هذا جيد، ما هي حلول
المعادلة التربيعية x + 6x = 16؟
والرغبة هنا تكمن في ان تحاولوا حلها
بطريقة حل معادلة خطية
لا اعلم، نقوم باستخراج x كعامل مشترك و --لا اعلم، نفعل
اي شيئ آخر
لكن الشيئ المهم هو ان تدركوا ان هذه
معادلة تربيعية
وابسط طريقة لحلها هي ان نضع جميع العبارات على
جانب واحد ونحصل على 0 في الجانب الآخر
ثم اما ان نحللها او نستخدم
المعادلة التربيعية الحالية
او نكمل المربع، اي شيئ تحتاج بفعله
اذاً دعونا نطرح 16 من كلا الطرفين
ونحصل على x^2 + 6x - 16 = 0
لقد طرحت 16 من كلا الطرفين حتى اصل الى هنا
وقبل القفز الى المعادلة التربيعية، دعونا
نرى اذا كان بامكاننا ان نحللها من خلال التمعن بها
ما هما العددان اللذان اذا جمعتهما سأحصل على 6 --و
نريد موجب 6-- وعندما اضربهما احصل على -16؟
ومرة اخرى، بما انه -16، اذا ضربنا
العددان سنحصل على عدد سالب
يجب ان يكونا مختلفين بالاشارة
واحداً يجب ان يكون موجب والآخر يجب ان يكون سالب
والفرق بينهما سيكون 6 لأن واحداً موجب و
الآخر سالب
لذا دعوني افكر بها
اذا كان لدي - --حسناً، 8 و 2 = 16
ومجموعهما يكون 6
في حال وضعت موجب 8 و -2، اليس كذلك؟
موجب 8 و -2 = موجب 6
انها (x + 8) (x - 2)
وهذا يتطلب المزيد من الخبرة
تقول، حسناً، ما هما العددان؟
16
حسناً
8 و 2
حسناً، سوف تكون اشاراتهما مختلفة
لكن لدي عدداً موجب هنا، لذا فإن العدد
الاكبر ربما سيكون هو الموجب
موجب 8 و -2
نعم، عندما نجمعهما، نحصل على -6
نعم لقد نجح هذا
اذاً نقول ان ذلك يساوي 0
وتقول حسناً، هذا يجب ان يساوي 0، او ان ذلك يجب ان يكون
مساوياً لـ 0
اما ان x = -8
فاذا قلت ان x + 8 = 0 بالتالي نطرح 8 من كلا
الطرفين، فنحصل على x = -8
لا يجب ان اقفو عن هذه الخطوة، لكنني
سأقوم بالخطوة هنا
او يمكنك ان تقول ان x - 2 = 0
نضيف 2 لكلا الطرفين، ونحصل على x = 2
ما هي قيمة x التي تجعل من هذه العبارة تساوي 0؟
ويمكنك ان تنظر اليها بتمعن
اذاً x اما ان تساوي -8 او 2، وذلك في الخيار C
المسألة 51
قامت لين بحل المعادلة x^2 + 4x
= 6 بشكل صحيح عن طريق اكمال المربع
فأي معادلة تعد جزءاً من حلها؟
حسناً، نتبع نفس الشيئ
x^2 + 4x
وعندما تكمل المربع سوف اضيف
شيئ ما هنا
لذا سأترك هنا مساحة صغيرة
= 6
ماذا يمكن ان اضيف هنا حتى اجعل من هذه العبارة تبدو
كمربع كامل؟
حسناً، انها تتبع نفس النمط الذي اتبعناه
في عدة مسائل سابقة
مهما كان مربع نصف هذا
اذاص 4 --حسناً، نصف ذلك هو 2
2^2 = 4
لذا يجب ان اضيف 4 الى ذلك الجانب
اذا اضفت 4 الى ذلك الجانب، سيكون علي ان اضيف 4 الى
هذا الجانب ايضاً
والآن 2 + 2 = 4
2 × 2 = 4
وهذا (x+ 2)^2
وانا حقاً اريدكم ان تحصلوا على البداهة
لا تحفظوا خطوات اكمال المربع
اريدكم ان تفهموا السبب
هذا مربع نصف ذلك
وقد وضحناه منذ البداية
مربع العديد من المعادلات ثنائيات الحدود وترون بأنفسكم ان هذه
دائماً ستكون الحالة
دائماً، اذاً هذه (x + 2)^2
هذا يساوي --6 + 4 = 10
وهذا هو الخيار B
الخيار B
اعتقد ان لدينا وقت لحل مسألة اخرى
مسألة واحدة، المسألة رقم 52
لقد نسختها والآن الصقها
يقوم كارتر بحل هذه المعادلة عن طريق التحليل الى العوامل
اي عبارة يمكنها ان تكون واحدة من عوامله الصحيحة؟
مرة اخرى، انني شخصياً افضل ان افصل
العدد الذي يقبل القسمة عليهم جميعاً
وجميع هذه تقبل القسمة على 5
واقوم بتبسيطها ذهنياً
اذا قسمت جميع هذا على 5 --في الواقع، يمكنني
ان اقسم طرفي هذه المعادلة 5
0 ÷ 5 = 0
ثم عندما نقسم الجانب الايسر على 5 يصبح 2x^2
- 5x + 3 = 0
واذا كان هذا 2x^2، اذاً هذا سيكون عبارة عن
عددان عندما نضربهما نحصل على 3 وعندما
--دعونا نفكر بهذا قليلاً
في الواقع، دعوني اكتب هذا لانني اعتقد انني سأحتاج
مساحة اكبر--
2x^2 - 5x + 3 = 0
وقد قسمت طرفي المعادلة
على 5 كي احصل على هذا
لذا دعونا نرى ماذا يمكن ان نفعل هنا
اذاً لدينا 2x^2 هنا وبالفعل انها
تبين لنا اننا سنحصل على حل صحيح
اذاً يمكننا ان نحللها الى عواملها
والبداهة هي ان هذا سيكون 2x ×
--كما تعلمون، + شيئ ما--
+ a
× --حسناً، × ماذا؟
× x ربما، اليس كذلك؟
2x × x = 2x^2
الآن انه ليس من الواضح تماماً اذا
كانت توضح انه يمكن تحليلها
ربما ان عليك استخدام
معادلة تربيعية او شيئ ما
في الواقع، ان المعادلة التربيعية لن تكون شيئ
صعب الاستخدام هنا لأنه يمكنك
ان تحدث ضجة
لكن دعونا نرى اذا كان يمكننا ان نحصل على البداهة
سيكون 2x + شيئ ما × x +
شيئ آخر
اذا اردنا ان نضرب هذا، سنحصل على 2x × x = 2x^2
كما يجب
2x × b = موجب 2bx
a × x = موجب ax
a × b = موجب ab
ودعونا نرى على ماذا سنحصل
سنحصل، سنحصل على
اذاً + 2b + ax + ab
2x^2
حسناً، الآن يمكننا ان نقوم بالتماثل النمطي
هذا كان الشيئ الاصلي
اذاً 2 × ( b + a) يجب ان يساوي --هذه العبارة
تعادل هذه العبارة
وتلك العبارة يجب ان تعادل
تلك العبارة
اذاً اولاً، لدي موجب 3 هنا
انني اضرب عددان لكي احصل على موجب 3
يجب ان يكونا اما موجبان او كلاهما سالبان
ثم ان الشيئ الآخر المثير للاهتمام هو ان لدينا --عندما آخذ
2 × واحداً منهم + الآخر
واحصل على عدد سالب
اذاً الطريقة الوحيدة عندما تتعامل مع اعداد سالبة
وعندما تضربه بعدد موجب وتجمعهم مع
بعضهم البعض سوف تحصل على عدد سالب آخر، اذا كان
كلاهما سالب
هذا يخبرنا ان ان كلاهما يجب ان يكون سالب
لأن هذا موجب
وبما انه عندما نجمعهم بدون اي اشارات سالبة
سنحصل على عدد سالب، فإن هذا يخبرنا انه
يجب ان يكون عدد سالب ايضاً
دعونا نرى
دعونا نجرب الـ 3 -- -3 و -1
اذا كان -3 و -1
بالتالي انت محق
اجل
اذا كان b = -1 و a = -3، بالتالي فإن 2
× -1 = -2
-3
صحيح، اذاً b = -1 و a = -3
هذا يشبه شكل فني
اعني انه لا يثير ضجة، انها طريقة ميكانيكية
للقيام بهذا
المعادلة التربيعية هي 1، لكن هذه الطريقة الافضل
انني اعرف كيف اتعامل مع هذه دونها
نحن نعلم ما هي قيمة a و b
انها 2x --a = -3--
2x - 3 × x + b، و b = -1
هذا هو التحليل الى العوامل
(2x - 3) (x - 1)، اي خيار؟
يوجد هذا الخيار هنا
2x - 3
لقد انتهى الوقت
سأراكم في العرض التالي