Tip:
Highlight text to annotate it
X
لنعد إلى الكرة S^2 بموازياتها.
فوق كل نقطة من S^2،
علينا أن نتخيّل وجود دائرة لهوبف.
لنتأمل في ما لدينا فوق أحد موازيات S^2،
لنأخذ مثلا خط الاستواء.
إليكم ما يوجد فوق أحد الموازيات الأخرى
الذي يتحرك في اتجاه الجنوب.
لماذا تبدو الطارة أقل سمكا؟
لأن هناك فوق القطب الجنوبي،
دائرةََ وحيدة، طبْعًا.
وفوق القطب الشمالي هناك مستقيم،
وهو في الواقع دائرة تمرّ باللانهاية، إنه المستقيم الأحمر!
والآن، لنُدِر كل هذه الأشكال.
يتعلق الأمر بدوارانات، لكنها دورانات
للفضاء الرباعي الأبعاد، طبعًا.
وحتى أكون أمينا، ينبغي أن أقول إن جزءا من هذه الأشكال
كان معروفا قبل عهدي بكثير.
فهناك من ينسب إلى المركيز دي فيلارسو Villarceau
وجود أربع مجموعات دوائر على الطارة،
لكننا نلاحظ آثارها حاضرة مثلا
في نقش على كاتدرائية ستراسبورغ.
لنأخذ طارة دورانية :
إنها السطح الذي تصفه دائرة
تدور حول محور يقع في مستوي هذه الدائرة.
لنتأمل في مقطع الطارة بمستوٍ.
لاحظوا هنا كيف اخترتُ المستوي.
نقول إنه ثنائي التماس للطارة،
وذلك لسبب بسيط يرجع لكونه مماسا عند نقطتين.
لكن انظروا جيدا،
المستوي يقطع الطارة عند دائرتين كاملتين.
تلك هي نظرية فيلارسو :
المستوي الثنائي التماس لطارة يقسمها إلى قسمين عند دائرتين.
وبطبيعة الحال، فليس هناك مستو ثنائي التماس واحد.
إليكم مستويا ثنائي التماس آخر يقطع الطارة عند دائرتين لفيلارسو أخريين.
يمكن إجراء نفس العملية من أجل كل مستو ثنائي التماس :
يكفي أن نقوم بعملية دوران.
أنتم ترون، يمكن عبر كل نقطة من طارة دورانية
تمرير أربع دوائر،
نحصل عليها من خلال القطع بمستويات مناسبة
تمثّل إحدى هذه الدوائر أحد الموازيات،
وتمثّل الدائرة الأخرى خط زوال،
ثم دائرة من دوائر فيلارسو
وها هي دائرة ثانية.
وبما أننا نستطيع القيام بنفس العملية من أجل كل نقطة من الطارة،
فإننا نرى أن الطارة مغطاة بأربع مجموعات من الدوائر.
دائرتان من نفس الفئة لا تلتقيان.
دائرة زرقاء تلتقي بدائرة حمراء في نقطة واحدة.
تلتقي دائرة صفراء ودائرة بيضاء في نقطتين :
إنها دوائر لفيلارسو.
أنظروا مليا إلى الدوائر الصفراء :
إنها دوائر لهوبف.
أنتم تذكرون عندما كنا نشاهد
ما كان فوق مواز في تلييف؟
كنا نشاهد طارة مليئة بدوائر متعانقة مثنى مثنى،
كما هو حال هذه الطارة المليئة بدوائر صفراء.
ولعلكم تسألونني عن الدوائر البيضاء؟
آه، إنها ألياف تلييف آخر من نوع هوبف !
ذلك التلييف الذي نحصل عليه بالنظر إلى التلييف الأول عبر مرآة...
وحتى ننهي جولتنا،
سنعتبر طارة دورانية،
بمجموعات دوائرها، الأربع،
لنتخيّل الطارة في الكرة S^3،
ثم ندير الكرة في الفضاء الرباعي الأبعاد،
وفي الأخير نسقطه مجساميا
في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
نحصل بذلك على سطوح
مغطاة هي الأخرى بأربع مجموعات دوائر :
تسمى "دائريات" cyclides دوبين Dupin.
أحيانا، عندما تمر الطارة بقطب الإسقاط،
فإن السطح يمرّ باللانهاية...
وفي هذه الحركة يمكننا حتى مبادلة الوجهين.
لاحظوا أن داخل الطارة وردي، وخارجها أخضر.
نقوم بدوران بسيط في الفضاء الرباعي الأبعاد، وفجأةّ!
يصبح الأخضر ورديا والوردي أخضر.
أليس هذا مشهدا رائعا؟