Tip:
Highlight text to annotate it
X
لقد قلت لكم سابقاً بأن اي عدد يرفع للقوة 0 يساوي 1
اذاً x^0 = 1
واعطيتكم برهاناً يفسر هذه الحالة
اذا كان لدينا 3^1
فستساوي 3
3^2 =9
3^3 = 27
اذاً في كل مرة نخفض من قيمة القوة، نقوم بالقسمة على 3
27 ÷ 3 =9
9 ÷ 3 =3
ثم 3 ÷ 3 =1
وبهذا نحصل على ناتج 3^0
وهذه الطريقة التي نفكر بها
وسنحتاج هذه الطريقة حتى نفكر
بكيفية عمل خصائص الأسس
على سبيل المثال، لقد قلت لكم ان a^b × a^c
= a^b+c
الآن، ماذا سيحدث اذا كانت c = 0
او ماذا سيحدث اذا كان لدينا a^b × a^0؟
حسناً، وفقاً لهذه الخاصية، فهذه ستساوي
a^b+0، اي يساوي a^b
اذاً a^b × a^0 = a^b
فاذا قسمت الطرفين على × a-- دعوني اعيد كتابة
هذا-- a^b × a^0، اذا استخدمنا هذه الخاصية
فسيكون الناتج a^b، اليس كذلك؟ b+0=b
اذا قمت بقسمة الطرفين على a^b، فعلى ماذا ستحصل؟
في الجانب الايسر، سيكون لدينا
a^0، صحيح؟
ويتم حذف هذه
a^0 = 1
ويمكنك استخدام برهان مشابه ينطبق على جميع
خصائص الأسس، التي فيها اعداد مرفوعة للقوة 0
وتساوي 1
وهذا منطقي عندما نقسم على 3، في كل خطوة نقوم
بانقاص قيمة الأس فيها
وستنجح دائماً
عندما يكون لدينا 3^-1، وقد رأينا هذا في
العرض الاخير انه يساوي 1/3^1
او 1/3
اذاً مرة اخرى، عند الانتقال من 3 الى 0 الى 1/3
نقوم بالقسمة على 3 في كل مرة
اذاً هذا منطقي بالفعل لدرجة ما حيث ان
3^0 = 1
لكن هذا يصنع فجوة
ما هو ناتج 0^0؟
وهذه فكرة غريبة
اي اننا سنضرب 0 بنفسها 0 مرة
وهذا يعتمد على السياق الذي تستخدمه
ففي بعض الاحيان يمكن ان يقول الناس ان القيمة غير معرفة، لكن آخرين
وهم كثر، على الاقل في مجال خبرتي، سيقولون ان الناتج
يساوي 1
والسبب-- رغم ان هذا ليس
بديهي، وبامكانك ان تكتب 0^0 في
محرك البحث على الانترنت، وسيعطيك الناتج 1
حتى وان كان غير بديهياً، وسبب
ان الناتج معرف بهذه الطريقة هو
نجاح بعض الصيغ
صيغة واحدة بالذات، وهي المعادلة ذات الحدين
حيث ان هذا ينجح عند ايجاد معاملات المعادلة ذات الحدين، ولن اقوم بشرحها
الآن، اذاً خلاصة القول ان 0^0 = 1
وهذا شيئ مثير للاهتمام وعليكم التفكير بماذا
يعني؟
دعونا نتكلم الآن قليلاً عن الخصائص الاخرى
ومن ثم يكون بامكاننا ان نستخدمهم جميعهم عند القيام بحل مجموعة
من المسائل، وقد اخبرتكم في العرض الاخير ماذا
يعني ان ترفع عدد ما لقوة سالبة
a^-1، او ربما علي ان اقول
a^-b = 1/a^b
لنطبق هذا على مجموعة من الامثلة الواقعية
3^-3 = 1/3^3
ويساوي 1/ 3×3×3
اي = 1/27
واذا قمت بسؤالكم ما هو ناتج 1/3^-2؟
حسناً، هذا يساوي
1/ 1/ 3^2
نتخلص من السالب ونقلبه
فيساوي 1/--
كم ناتج 1/3 × 1/3؟
1/9
ويساوي-- هذا 1 ÷ 1/9 =
1×9، اذاً =9
وهذا منطقي جداً، لأن 1/3، تذكر، 1/3
تساوي 3^-1، اليس كذلك؟
3^-1 = 1/3^1
ما يساوي 1/3
فاذا عوضنا عن 1/3 بـ 3^-1، يكون الناتج
(3^-1)^-2
وهاتان العبارتان متساويتان
واذا استخدمنا واحدة من الخصائص التي تعلمناها في
الدرس الاول، فسنحصل على ناتج
هذان الأسان
اذاً يساوي 3^-1، × -2
فتصبح موجب 2، ويكون الناتج 9
وهذا شيئ منظم حيث ان جميع خصائص الأسس
متصلة مع بعضها بطريقة جميلة، ولا
تتعارض مع بعضها البعض
ولا يهم اي خاصية تستخدم، ففي النهاية ستحصل
على الاجابة الصحيحة، طالما انك لم تقم
بأي خطأ
الآن، آخر شيئ اود تعريفه هو مفهوم
الأس الكسري
فاذا كان لدينا عدد مرفوع لقوة كسر-- فنفترض ان
لدينا a^1/b
سأقوم بتعرف هذا
هذا يساوي جذر الـ b لـ a
لذا دعوني اكون اكثر وضوحاً هنا
وسأستخدم الاعداد هنا
فاذا قلت 4^1/2، هذا يعني
الجذر التربيعي لـ 4
وهذا يساوي، اذا كان المقصود الجذر الاساسي بالطبع
يساوي 2
فاذا قلت، سأكون واضحاً، 8^1/3
فإن هذا يعادل الجذر التكعيبي لـ 8
وهذا، لدرجة ما، واحد من الاشياء
المزعجة في الأسس
هنا اقول، ما هو العدد الذي اذا ضربته بنفسه 3 مرات
سيساوي 8؟
فاذا افترضت ان x = 8^1/3، فهذا
يعادل x^3
=8
وكيف لي ان اعرف ان هاتان العبارتان متساويتان؟
حسناً، يمكن ان ارفع طرفي المعادلة
للقوة 3
فاذا طبقت ذلك على الجانب الايسر ورفعته للقوة 3
ومن ثم الجانب الايمن، على ماذا سأحصل؟
في الجانب الايسر، سأحصل على x^3
والجانب الايمن، احصل على 8^1/3 × 3
اي 3/3، وتساوي 1
فاذا كانت x = 8^1/3، ما هي قيمة x ؟
حسناً، 2×2×2 = 8
ولا توجد طريقة سهلة، بالذات عندما نتعامل مع
الجذر الرابع، او الخامس، او عندما يكون لدينا اعداد عشرية
لحسابها
وربما ستحتاج معظم الوقت الى آلة حاسبة لتساعدك على حساب هذا
لكن الاعداد مثل 8^1/3، او 16^1/4، او 27^1/3
ليس من الصعب حسابها
اذاً هذا، سأكون واضحاً، =2
الآن، دعونا نصعب المسائل قليلاً
كم ناتج 27^-1/3؟
لا تقلق كثيراً
سأقوم بحلها خطوة بخطوة
عندما يكون لدينا قوة سالبة، فهذا
يساوي 1/27^ 1/33
هاتان متساويتان
نتخلص من الاشارة السالبة ونحصل على
1/كل هذا
ثم ما ناتج 27^1/3؟
حسناً، ما هو العدد الذي اذا ضربته بنفسه 3 مرات تحصل على 27؟
انه 3
وهذا يساوي 1/3
ليس سيئاً
الآن سأصعبها اكثر قليلاً
لتصبح شاقة بعض الشيئ
دعوني اقوم بحل مثال مثير للاهتمام
كم ناتج 8^2/3؟
هذا يبدو مخيفاً
وكل ما عليك تذكره ان هذا مشابه
فيمكن حله باستخدام قواعد الأسس
وهو نفس (8^2)^1/3
كيف لي ان اعرف هذا؟
حسناً، اذا قمت بضرب هذان الأسان
اذاً 8^2/3 تعادل 8^2، ثم
نرفع المقدار كله للقوة 3
لكن يمكن ان نتصورها بطريقة اخرى
فهذا يساوي (8^1/3)^2
لأن اي طريقة سنستخدمها، عندما نضرب الأسس
سنحصل على 8^2/3
دعونا نتحقق من اننا
سنحصل على نفس القيمة
اذاً 8^2 = 64
ثم نرفع المقدار للقوة 1/3
ولدينا هنا، 8^1/3
وقد اوجدنا الناتج بالفعل
يساوي 2، لأن 2^3 = 8
اذاً هو عبارة عن 2^2
الآن، كم ناتج 64^1/3؟
ما هو العدد الذي تضربه بنفسه 3 مرات فيعطيك الناتج 64؟
حسناً، 4×4×4 = 64، او ان 4^3
= 64، ما يعني 4 =
64^1/3
يساوي 4
ولحسن حظنا، 2^2 ايضاً تساوي 4
اذاً الطريقة التي نتبعها غير مهمة
حيث يمكنك اخذ الجذر التربيعي ومن ثم الجذر التكعيبي، او
يمكنك اخذ الجذر الثالث ومن ثم تقوم بتربيعه
وستحصل على نفس الناتج
الآن، كل ما قد تعاملت معه
كان اعداد فعلية
دعوني الآن اتعامل مع مسائل
تحتوي على متغيرات
لذا نريد اخذ بعض العبارات و
نتأكد من ان
اسس الناتج غير سالبة
اذاً دعوني اقول x + 3 / x^-7
ويمكن النظر الى هذه المسألة بعدة طرق
فيمكن ان نعتبرها x^-3 × 1
/ x^-7
كم ناتج 1/x^-7؟
هذا يساوي x^7، صحيح؟
اذا كان لدينا 1 مقسوماً على عدد ما، فيمكنك التخلص من الـ 1
عن طريق وضع اشارة سالبة مقابل الأس
لكن اذا وضعت اشارة سالبة مقابل
-7، فستحصل على x^7
ويمكن تبسيط هذا ليصبح x^-3 ×
x^7
ومن ثم يمكننا جمع الأسس، فيصبح لدينا
x^4
الآن سنقوم باستخدام طريقة اخرى، وهي طريقة منطقية فعلاً
حيث يمكننا ان نطرح الأسس
حسناً، لدينا الاساس نفسه
فيصبح لدينا x^-3
- - 7
حسناً، -3 - -7، تساوي
3+7 = x^4
والطريقة الاخيرة،-- اعني، انه يوجد
اكثر من طريقة يمكن اتباعها هنا
فيمكن ان نقول x^-3 /
x^-7-- آسف، ليس -x --
/ x^-7
حسناً، x^-3 يساوي 1/x ^3
هذه العبارة-- × 1/x^-7
اذاً هذا يساوي
1/x ^3 × x^-7
يمكنك جمع الأسس، فتصبح
1/ 3 - 7 = x^-4
ومن ثم-- اذا تخلصنا من المعكوس، نأخذ
معكوسها، ويمكن ان نضع اشارة سالبة مقابل هذا
السالب، فيصبح موجب-- فيكون
الناتج x^4
اذاً لا تهم الطريقة التي نتبعها، في حال كنا متماشين مع
القواعد، وسنحصل على x^4
دعونا الآن نقوم بحل مسالة متشعبة
وبعدها اعتقد بأننا سنكون انجزنا ما هو مطلوب منا لليوم
لنقل: 3x^2 × y^3/2
سنقسمها على x × y^1/2
مرة اخرى، هذا يعادل 3 × عبارات x
اذاً 3 × x^2 / x × y^3/2
/ y^1/2
حسناً، هذا يساوي 3 ×-- كم قيمة
x^2 / x؟
او x^2 / x^1؟
هذا يساوي x^2 - 1
ومن ثم هذه تصبح y^3/2 - 1/2
اذاً ما الناتج النهائي؟
انه 3 × x
2 - 1 =1-- ويمكن ان اكتب x هنا-- × 3/2
- 1/2 = 2/2
اذاً يساوي y^2/2
2/2 هي نفسها y
اي هذا يساوي 3xy
على اي حال، انصحكم بأن تقوموا بحل المزيد
من الامثلة على هذا
لكنك سترى ان هذا مجرد استخدام للقواعد التي
فسرتها في الدروس الاخيرة، بحيث يمكنك
ان تبسط اي عبارة أسية
لقد قلت لكم في العديد من الدروس ان اي عدد مرفوع للقوة 0 يساوي 1