Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
مرحباً بكم في العرض التقديمي على المشتقات
اعتقد انكم بداتم تجدون ان الرياضيات
اصبح اكثر متعة من السابق، اي قبل عدة دروس سابقة
حسناً، دعونا نبدأ مع المشتقات
واعلم انها للوهلة الاولى تبدو معقدة
حسناص، بشكل عام، اذا كان لدي خط مستقيم --دعوني ارى اذا
بامكاني رسم خط مستقيم بشكل بدقة-- اذا كان لدي خط مستقيم
--ذلك هو النظام الاحداثي، وهو ليس مستقيماً
هذا خط مستقيم
.
لكن عندما يكون لدي خط مستقيم كهذا، واطلب منكم ان
تجدوا الميل --اعتقد انكم تعرفون بالفعل كيفية القيام بهذا--
انه عبارة عن التغير في y ÷ التغير في x
اذا اردت ايجاد الميل --في الحقيقة اعني ان الميل هو
نفسه، لأنه خط مستقيم، ان الميل هو نفسه
على طول الخط كله، لكن اذا كنت اريد ايجاد الميل على اي
نقطة في هذا الخط، ما سأقوم بفعله هو ان اختار
نقطة x --لنفترض انني سأختار هذه النقطة
سوف نختار لون مختلف-- سآخذ هذه النقطة، سوف اختار
هذه النقطة --انها اعتباطية، يمكنني ان اختار اي
نقاط، وسأعرف ما هو التغير في y --هذا
هو التغير في y، اي دلتا y، ان تلك عبارة عن طريقة اخرى
لنعبر عن التغير في y-- وهذا هو التغير في x
دلتا x
وقد اوجدنا ان الميل معرفاً على انه
التغير في y ÷ التغير في x
.
وطريقة اخرى لنقول ان هذا عبارة عن دلتا --هي ذلك المثلث--
دلتا y ÷ دلتا x
واضح جداً
الآن ماذا يحدث، على الرغم من ذلك، إذا لم نكن نتعامل
مع خط مستقيم؟
اسمحوا لي أن ارى اذا كانت لدي مساحة كافية لرسم هذا
اي لرسم نظام احداثي آخر
لا يزال غير مرتباً، لكن اعتقد انكم ستفهمون الفكرة
.
الآن دعونا نفترض، انه بدلاً من خط عادي كهذا، ان هذا
يتبع المعيار y = mx + b
دعونا نفترض ان لدي المنحنى y = x^2
اسمحوا لي أن ارسمه بلون مختلف
اذاً y = x^2 يبدو هكذا
انه منحنى، وربما ان هذا مألوف بالنسبة لديك حتى الآن
وما سأطلبه منكم هو، ما هو
ميل هذا المنحنى؟
وفكروا في ذلك
ماذا يعني ان ناخذ ميل المنحنى الآن؟
حسناً، في هذا الخط، ان الميل هو نفسه على طول
الخط هذا كله
ولكن إذا نظرتم إلى هذا المنحنى
ان الميل لا يتغير، اليس كذلك؟
انه مسطحاً هنا، ويصبح حاداً اكثر
الى ان يصبح حاداً جداً
واذا ابتعدت حقاً، فإنه يصبح حاداً تماماً
لذلك ربما انك تقول، حسناً، كيف نجد
ميل منحنى يستمر ميله بالتغير؟
حسناً، لا يوجد ميل محدد للمنحنى ككل
بالنسبة للخط، يكون الميل بالنسبة للخط كله، لأن
الميل لا يتغير ابداً
لكن ما يمكننا فعله هو ان نجد ما هو
الميل عند نقطة معينة
والميل عند نقطة معينة سيكون نفس
ميل خط التماس
على سبيل المثال --دعني اختار اللون الاخضر-- الميل على هذه النقطة
هنا سيكون نفس ميل هذا الخط
أليس كذلك؟
لأن هذا الخط يشكل مماساً له
انه يلامس ذلك المنحنى، وعلى تلك النقطة المعينة
سوف نحصل على --هذا المنحنى الازرق، y = x^2، سيكون له
نفس ميل هذا الخط الأخضر
لكن اذا عدنا الى نقطة هنا، على الرغم من ان هذا
رسم بياني سيئ، فالميل سيكون
شيئ كهذا
ميل المماس
الميل سيكون سالباً، وهنا الميل موجب
لكن اذا اخذنا نقطة هنا، فإن الميل سوف
يكون موجباً اكثر
اذاً كيف نجده؟
كيف سنجد ما هو الميل على اي نقطة
على طول منحنى y = x^2؟
ذلك حيث يتم استخدام المشتقة، والآن
للمرة الأولى سوف ترى سبب اعتبار النهاية
مفهوم مفيد
لذلك اسمحوا لي ان اعيد رسم المنحنى
حسناً، سوف ارسم المحاور، ذلك هو محور y --سوف اضعه في
الربع الاول-- وهذا --علي حقاً ان اجد
اداة افضل لرسم --هذا هو احداثي x، ومن ثم دعوني
ارسم المنحنى باللون الاصفر
.
اذاً y = x^2 يبدو هكذا
انني بالفعل اركز على رسمه على
الاقل بشكل جيد
حسناً
دعونا نفترض انني اريد ان اجد الميل على هذه النقطة
.
دعونا نسمي هذه النقطة a
على هذه النقطة، x = a
وبالطبع ان هذا f(a)
f(a)
اذاً ما يمكننا ان نفعله هو ان نحاول ايجاد
ميل الخط القاطع
خط يقع بين -- نأخذ نقطة اخرى، ونقول انها قريبة الى حد ما
من هذه النقطة على التمثيل البياني، دعونا نفترض انها هنا، واذا
كان يمكننا ان نجد ميل هذا الخط، سيكون نوعاً ما
ميل تقريبي للمنحنى
تماماً عند هذه النقطة
لذا اسمحوا لي ان ارسم ذلك الخط القاطع
دعونا نرى
هكذا
الخط القاطع سيبدو هكذا
ودعونا نفترض ان هذه النقطة هي a + h، حيث ان
هذه المسافة هي h، هذه a + h، اننا
نبتعد بمقدار h عن a، ومن ثم هذه النقطة الموجودة هنا
هي f(a + h)
.
يوجد خلل ما في القلم
.
اذاً هذا سيكون تقريب لما
هو الميل على هذه النقطة
والاقرب الذي تصله h، اي النقطة الاقرب التي تصلها
هذه النقطة، يكون افضل تقريب
وصولاً الى النقطة التي تمكننا من الحصول على
الميل، حيث h = 0، فإن ذلك في الواقع يكون الميل
الميل اللحظي، على تلك النقطة من المنحنى
لكن كيف نجد ما هو الميل عندما h = 0؟
.
اذاً الآن، نفترض ان الميل يقع بين هاتين
النقطتين، سيكون التغير في y، اذاً ما هو
التغيير في y؟
انه هذا، اي ان تلك النقطة الموجودة هنا هي
احداثي x هو-- ان القلم لا زال سيئاً--
احداثي x عبارة عن a + h، واحداثي y عبارة عن f(a + h)
f(a + h)
وهذه النقطة الموجودة هنا، الاحداثي هو a و f(a)
اذا استخدمنا صيغة الميل النموذجية فقط، كما في السابق
سوف نقول التغير في y / التغير في x
حسناً، ما هو التغير في y؟
انه f(a + h) --احداثي y هذا - احداثي y هذا--
- f(a / التغير في x)
حسناً، ذلك التغير في x هو عبارة عن احداثي x هذا، اي a + h، -
احداثي x هذا، اي - a
وبالطبع ان a هذه و a هذه يتم حذفهما
اذاً هو f(a + h) - f(a) / h
ان هذا عبارة عن ميل هذا الخط القاطع
واذا اردنا الحصول على ميل خط المماس، فسوف
يكون علينا ايجاد ماذا يحدث كلما صغرت قيمة h
اكثر فأكثر
واعتقد انكم تعلمون اين اذهب
نريد حقاً ان، اذا اردنا ان نجد ميل
خط المماس هذا، فعلينا ان نجد نهاية هذه
القيمة كلما اقترب h من الصفر
ومن ثم، كلما اقترب h من الصفر، فإن هذا الخط القاطع
سيقترب اكثر من ميل خط المماس
ومن ثم سنعرف الميل بالضبط على
النقطة اللحظية على طول المنحنى
وفي الواقع، يظهر ان هذا هو تعريف
المشتقة
والمشتقة ليست اكثر من ميل
منحنى عند نقطة محددة
وهذا مفيد جداً، لأنه للمرة الاولى
يكون كل شيئ قد تحدثنا عنه حول هذه النقطة عبارة عن
ميل الخط
لكن الآن يمكننا ان نأخذ اي منحنى متواصل، او
منحنيات متواصلة، ونجد ميل ذلك المنحنى
على نقطة محددة
اذاً الآن بما انني اعطيتكم تعريف المشتقة
واتمنى انه ربما اعطيتكم البداهة، في
العرض التالي سوف استخدم هذا التعريف
لتطبيقه على بعض الاقترانات، مثل x^2 واقترانات اخرى، و
اعطيكم بعض المسائل الاخرى
سأراكم في العرض التالي
.