Tip:
Highlight text to annotate it
X
مسألة رقم 1: عند الزمن ن، يوجد جزيء يتحرك في المستوى-س ص
موجود في المكان (س(ن)،ص(ن))، حيث أن س(ن) و ص(ن)
غير معطيين (مجهولان).
عندما يكون الزمن ن أكبر من أو مساوياً للصفر،
تكون مشتقة الإحداثي السيني (س) بالنسبة للزمن ن هي 4ن+1
ومشتقة الإحداثي الصادي (ص) بالنسبة للزمن ن هي جا(ن^2) -(ملاحظة: ^ تعني الأسّ)
وتكون القيم المبدئية عند الزمن ن=0، س(0)=0 و ص(0)=-4
عظيم، فلنقم بحل الجزء الأول (أ)
أوجد سرعة الجزيء عند الزمن ن=3،
وأوجد متجه العجلة للجزيء عندما يكون
الزمن ن=3 أيضاً
إذاً، فالسرعة هي عبارة عن مقدار متجه السرعة.
حسناً، ماهو متجه السرعة؟
متجه السرعة كدالة في الزمن
سيكون مساوياً لمشتقة الإحداثي السيني س
كدالة في الزمن، أو يمكننا القول بأنه هو السرعة في اتجاه الإحداثي السيني س
مضروباً في متجه الوحدة لـ س، مضافاً إليه السرعة في اتجاه الإحداثي الصادي ص مضروباً في متجه الوحدة لـ ص.
قمت بكتابة ذلك على صورة هندسية فقط،
من الواضح أن هناك العديد من الطرق التي تستطيع بها تحديد أي متجه.
وفي هذه الحالة التي عندنا ، مشتقة ال س بالنسبة للزمن س`(ن) المعطاة لنا:
س`(ن) هي 4ن+1
وهي مكتوبة على الصورة دس/دن (dx/dt)
وبالتالي هذا عبارة عن 4ن+1 مضروب في متجه الوحدة لـ س،
وهذا عبارة عن ص`(ن) المعطون لدينا
مشتقة الإحداثي الصادي بالنسبة للزمن هي جا(ن^2)
إذاً نقوم بجمع جا(ن^2) مضروباً في متجه الوحدة لـ ص
هذا هو متجه سرعتنا. حسناً، سرعتنا هي -
أو هذا هو متجه السرعة كدالة في الزمن،
إذاً ما هي سرعتنا عند الزمن ن=3؟
حسناً، سنقوم فقط بالتعويض عن ن بالقيمة 3، وبالتالي 4(3)+1 ستعطي 13س
زائد (3) أس 2 - تربيع ال 3 يساوي 9 - جا(9). إذا نقوم بجمع السابق على (جا9)ص
السرعة، المطلوب منا إيجادها ستكون
مساوية لـ - أو لنكتبها على أنها السرعة عند الزمن 3
- سرعتنا ستكون مساوية لمقدار متجه السرعة عند الزمن 3
الذي بدوره يساوي مقدار 13س+(جا9)ص
سنقوم باستخدام نظرية فيثاغورس
لإيجاد المقدار.
هذا يساوي الجذر التربيعي لـ 169 (13 تربيع)
زائد (جا9)^2. لنقم بحساب هذا على الآلة الحاسبة .
في هذا الجزء من الامتحان يُسمح لنا باستخدام الآلات الحاسبة.
إذا فلنقم بحساب الجذر التربيعي(169)+(جا9)^2
حسناً، هذا يساوي 13 تربيع+ (جا9) تربيع.
فنحصل على 13.0065، سأقوم بتقريبه إلى 13.007
لم نقم بتقريبه مباشرة إلى 13 كي نظهر،
أن جا9 لها بعض التأثير.
إذاً 13.007
إذاً هذا يساوي تقريباً 13.007
هكذا، قمنا بإجابة الجزء الاول
سرعة الجزيء عن الزمن ن=3 يساوي 13.007
بعد ذلك مطلوب أن نوجد متجه العجلة للجزيء عند ن=3
إذاً فمتجه العجلة كدالة في الزمن ستكون ببساطة المشتقة الثانية للإحداثي س
بالنسبة للزمن ن، أو أنها عبارة عن العجلة في اتجاه الإحداثي السيني س
كدالة في الزمن مضروبة في الإحداثي السيني ،زائد العجلة في اتجاه الـ ص
وبالتالي فهي المشتقة الثانية للـ ص بالنسبة للزمن ن في اتجاه الـ ص
وهذا بالطبع سيكون مساوياً لـ
المشتقة الثانية للـ س(ن) هي عبارة عن مشتقة
المشتقة الأولى، إذا فمشتقة المشتقة الأولى 4ن+1
بتفاضل المشتقة سنخصل على الرقم 4 فقط
فنحصل على 4س، زائد المشتقة الثانية لـ ص بالنسبة للزمن ن
والتي هي عبارة عن المشتقة للمشتقة الأولى.
إذا مشتقة المشتقة الأولى جا (ن^2)
ستكون 2ن*جتا(ن^2) وبالطبع ستكون أيضاً مضروبة في ص
هنا ال ص ، من قاعدة السلسلة
مشتقة ال ن^2 بالنسبة للـ ن هي 2*ن
ومشتقة ال جا(ن^2) بالنسبة لـ ن تربيع هي جتا (ن تربيع)
إذاً هذا متجه العجلة كدالة في الزمن ن
لكن المطلوب هو العجلة عن الزمن ن=3
إذاً ستظل الأربعة كما هي ، وسيصبح عندنا 2(3)+جتا(9)
اسمحولي بكتابة ذلك، وهذا سيكون بمثابة متجه العجلة
متجه العجلة عند الزمن ن=3 سيكون
4س، زائد .. لنقم بالتعويض ، 2*3=6
(6جتا9)ص.
لنقم باستخدام الآلة الحاسبة لنحصل على قيمة
بما أنهم قاموا بالسماح لنا باستخدام أو أرادوا أن نستخدم آلة هنا.
حسناً، 6جتا9 هي -5.47، أو 5.467
إذاً، زائد سالب .. أووه ماذا كنت أفعل!، هذا ص
إذا نجمع عليهم -5.467ص
إذاً فهذا هو متجه عجلتنا.
مرة أخرى قمت بكتابة هذا بصورة هندسية
والتی من المؤكد أن القائمين على اختبارات الـ ) Advanced Placement (لن يمانعوا وجودها
لكن يمكنك أيضاً كتابتها على طريقة
رموز المتجهات، أو الأزواج المرتبة كمتجه
يمكنك القول بأن متجه العجلة عند ن=3
يمكنك كتابتها هكذا أيضاً:
وهي تعبر عن الشيء نفسه
هذا هو إحداثي السينات من المتجه،
وهذا هو إحداثي الصادات من المتجه،
هذا هو إحداثي السينات من المتجه،
وهذا هو إحداثي الصادات من المتجه،