Tip:
Highlight text to annotate it
X
لنفترض ان لدينا ثلاث مصفوفات هي A, B, و C
ولنفترض ان B و C كلاهما عبارة عن مصفوفات m × n، وان
A هي a، ودعونا نسميها مصفوفة k × m
وما اريد فعله هو ايجاد ما اذا كانت نواتج المصفوفة
توضح خاصية توزيعية
لذا دعونا نختبر A × B + C
وبالطبع فإن هذه هي المصفوفات جميعها
اذاً B، حتى تتضح الامور، المصفوفة B يمكن
ان تمثل مجموعة من متجهات العامود B1, B2
وصولاً الى Bn
والمصفوفة C يمكنها ايضاً ان تمثل كمجموعة من
متجهات الاعمدة
اذاً يمكن للمصفوفة A، لكن لم يتوجب علي
ان ارسم ذلك بعد
اذاً المصفوفة C يمكن ان تمثل كمجموعة من
متجهات الاعمدة C1, C2 وصولاً الى Cn
ربما كان علي ان ارسم هذا بشكل اطول
هذه هي متجهات الاعمدة، وهي في الواقع يجب ان تكون
عامودية
اعتقد انكم قد رأيتم هذا عدة مرات
الآن ما هو ناتج A × B + C؟
حسناً، دعونا نجد ناتج B + C
هذا يساوي A × B + C
عندما نجمع B + C، تعريف جمع المصفوفة
هو، ان تقوم بجمع الاعمدة المتماثلة
اي يتلخص بجمع
المدخلات المتماثلة
اذاً العامود الاول سيساوي B1 × C1
العامود الثاني سيساوي B2 + C2
وتستمر بذلك حتى تصل الى العامود n
وسيساوي Bn + Cn
الآن من خلال تعريف المصفوفة ونواتج المصفوفة، هذا
الناتج سيكون مساوياً للمصفوفة، حيث
نأخذ المصفوفة A ونضربها بكل من
متجهات عامود هذه المصفوفة، اي B + C
وهو كما يمكنك ان تتخيله، كل من m × n
في الحقيقة يجب ان يكون لكلاهما نفس ابعاد
عملية الجمع حتى يعرفا بشكل صحيح
اذاً هذه ستكون المصفوفة m × n
وقد قلت لكم بالفعل ان A عبارة عن k × m
ونحن نعلم ان هذه معرفة جيداً لأن A
عدد اعمدتها يساوي عدد صفوف B + C
هذه معرفة جيداً
وهذه ستساوي --دعوني ابدل الالوان
مرة اخرى-- A × متجه العامود B1 + C1
العامود الثاني سيكون A × متجه العامود
B2 + C2
لقد نفذت المساحة
هذا كله الى ان نصل الى A ×
متجه العامود Bn + Cn
هذا هو تعريفنا للمصفوفة وناتجها
فقط تأخذ المصفوفة الاولى وتضربها بكل
من متجهات عامود المصفوفة الثانية
ويمكننا ان نقول ذلك لأننا قد قمنا بالفعل بتعريف
نواتج متجه المصفوفة
اذاً كم تساوي هذه الموجودة على اليمين؟
سأستمر في تغيير الالوان
نحن نعلم ان نواتج متجه المصفوفة توضح
الخاصية التوزيعية
لا اتذكر متى قمت بعمل ذلك العرض
لكننا افترضناه لبعض الوقت
انه شيئ من السهل اثباته
اذاً كل واحد من هذه الاعمدة سيساوي، دعوني
اكتب بهذه الطريقة
هذا يمكن ان تعاد كتابته
العامود الاول سيكون A × متجه العامود B1
+ A × متجه العامود C1
هذه العبارة تعادل
تلك العبارة
التالي سيكون AB2 + المصفوفة A
× المتجه C2
ثم العامود n سيكون المصفوفة --نستمر--
A × متجه العامود Bn + المصفوفة A ×
متجه العامود C
هكذا
الآن يمكن ان نكتب هذه المصفوفة بصورة مجموع
مصفوفتين مختلفتين
فكم ستساوي؟
تساوي --دعوني ارى، سأكتبها
هنا-- AB1 كأول عامود، AB2 ثاني
عامود، وصولاً الى ABn وهو العامود الثالث
تلك هي العبارات
ومن ثم اذا اردت ان اضيف اليها المصفوفة A × المتجه
C1، و A × متجه العامود C2 --هذه هي
الاعمدة المختلفة لهذه المصفوفة-- ومن ثم يكون لدينا
المصفوفة A × متجه العامود Cn
هذا ما يمثل هذه العبارات
وبكل وضوح اذا جمعت هذه المصفوفتان، فسأجمع
متجهات العامود المتماثلة واحصل على
هذه المصفوفة
لكن كم يساوي هذا؟
من خلال التعريف، هذه المصفوفة
A × المصفوفة B
تعريف نواتج المصفوفة هو ان تأخذ اول
مصفوفة وتضربها بمتجهات عامود
المصفوفة الثانية
وبنفس المبدأ، على ما اعتقد، هذا
مساوياً لـ A × C
وكل هذا --تذكروا ان لدينا مجموعة من
اشارات التساوي-- = A × B + C
اذاً يمكننا ان نقول الآن وبلا شك انه طالما كانت النتائج
معرفة جيداً ومجموعها معرف جيداً، اذاً جميعها
يجب ان تحتوي على الابعاد الصحيحة، بحيث A × B
+ C = AB + AC
اذاً نواتج المصفوفة توضح الخاصية التوزيعية، على
الاقل بهذا الاتجاه
واقول ذلك لأنه تذكروا ان نواتج المصفوفة
ليست تبادلية
نحن لا نعلم ان B + C × A
مساوية لذلك
في الحقيقة، معظم الوقت لا يكون هذان
متساويان
اذاً نحن لا نعلم بعد اذا كنا قد عكسنا هذا
ما اذا لا يزال يوضح
الخاصية التبديلية
دعونا اذاً نحاول فعل ذلك
سأفعله بشكل اسرع قليلاً، لأنني اعتقد انكم
تعرفون الفكرة العامة هنا
اذاص دعونا نأخذ B + C × A
وسأكتب A بصورة متجهات عامودها
A1, A2 وصولاً الى --A تحتوي على m من الاعمدة اذا كنت تتذكر
بشكل صحيح، A تحتوي على عدد m من الاعمدة-- اذاً
وصولاً الى Am
ومن خلال تعريف نواتج المصفوفة، هذا سيكون
مساوياً للمصفوفة --B + C
عبارة عن مصفوفة، اليس كذلك؟
يمكننا ان نمثلها بصورة مجموع مصفوفتين، لكنها
مصفوفة
وهي عبارة عن B + C × كل من متجهات العامود A
اذاص ستساوي B + C × a1، و B + C
× a2، وصولاً الى B + C × an
ومرة اخرى، في عروض سابقة على ما اعتقد كنت قد
وضحت ان نواتج متجه المصفوفة توزيعية، اذاً
يمكننا ان نوزع هذا المتجه
على مدى هاتان المصفوفتان
واذا لم اقم باثبات ذلك بعد، فإنه
اثبات مباشر جداً كي تقوموا به
اذاً يمكننا ان نقول ان هذا يساوي Ba1 + Ca2
هذا العامود الاول
اما العامود الثاني فهو B × a2 + C × a2
وصولاً الى B × an + C × an
كم يساوي هذا؟
سأكتبه
هذا يساوي B × --هذا a1
هنا-- a1 ثم B × a2، وصولاً
الى Ban + المتجه C × a1، و C × a2، وصولاً الى
C × an، اليس كذلك؟
هذا يمثل هذه العبارات، وهذا
يمثل العبارات الاولى في كل من
متجهات الاعمدة هذه
وهذا، من خلال تعريف نواتج المصفوفة
مساوياً لـ BA، وهذا مساوياً لـ CA
اذاً الآن قد رأينا ان الخاصية التوزيعية تنجح
بكل الطرق باستخدامها مع نواتج متجه المصفوفة
حيث ان B + C × A = BA+CA، وان A × B
+ C = AB + AC
الآن الشيئ الذي يجب ان تكون حذراً لأجله هو ان
هذان غير متساويان
لقد اوجدنا ان هذا يساوي BA + CA
اذاً التبديلية تنجح بكل الطرق
لكن عندما تتعامل مع مصفوفات، من المهم
ان تحافظ على الترتيب
اذاً هذا سيكون --لدينا الـ A ثانياً هنا--
BA + CA
لا يمكنك ان تقول ان هذا يساوي AB + AC
لا يمكنك ان تبدلهم
لأننا قد اوضحنا لعدة مرات، او اننا قد تحدثنا عنه
لعدة مرات، ان نواتج المصفوفة ليست تبادلية
لا يمكنك ان تبدل ترتيب النواتج
لكننا على الاقل قد وضحنا في هذا العرض ان
الخاصية التبديلية تنجح بكل الطرق