Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
لقد انجزنا العديد من عمليات الضرب، الجمع
الطرح وقلب المصفوفات
الآن دعونا نستعرض قليلاً بماذا
تفيد المصفوفة
وتذكروا، ان المصفوفة عبارة عن، طريقة
لتمثيل البيانات
وجميع تلك القواعد التي تعلمناها، يمكنك ان تعتبرها
قواعد من ابتكار الانسان
لا يوجد شيئ اساسي في الطبيعة يقول ان المصفوفات
يجب ان تضرب بالطريقة التي تعلمناها
لكن اعتقد انكم سترون انه كلما تقدمنا في التطبيقات
فإن الطريقة التي عرفنا بها العمليات على المصفوفات
تعتبر مفيدة
لذا دعونا نعود للجبر 1 او الجبر 2
لا اتذكر متى تعلمتموها
لكن دعونا نعود للمعادلات الخطية
ماذا كانت المعادلات الخطية؟
انظمة المعادلات الخطية
حسناً، لدينا خطان، وعليك ان تجد
اين يتقاطع هذان الخطان
وربما ستحصل على شيئ يبدو --دعوني افكر
بشيئ-- 3x + 2y
3x + 2y
= 7
ثم لديكم، 6x + 6y- =
احتاج لفعل ذلك في رأسي حتى اتأكد من انني احصل
على اعداد ستنجح في ذلك-- = 6
اعتقد ان هذا سيجح
وما هي هذه المسألة؟
حسناً، هذا خط، وهذا خط
وعليك ان تجد اين يتقاطعان
واذا اردتم ان ترسموا هذان الخطان
--دعونا نرسمهم--
لكي نحصل على البداهة، ونرى
كيف يتصلان في عالم المصفوفات
.
وكلمة "عالم المصفوفات" امتلكت
معنى جديد بعد 1999
دعونا نرى، اذا كانت هذه محاور الاحداثيات، ما هذا؟
علي ان اضع دائماً كل شيئ بصورة y = mx
+ b حتى --اذاً ما هذه المعادلة؟
انها y = 3/2x + 7/2
كم يساوي 7/2؟
انه تقريباً 3 1/2 او شيئ كهذا
فاذا كان هذا 7/2، فسيكون الميل 3 1/2
انه اكثر حدة قليلاً من الميل 1
لذا سيبدو هكذا
اي هذا الخط
ثم
ثم كيف سيبدو هذا الخط؟
سأستخم لون مختلف
سوف يبدو --انه يعادل--
اوه، هل تعلمون؟
لقد فعلت ذلك بشكل خاطئ
تراجع
لأن ذلك الخط، لقد ادركت ذلك، يساوي
3x + 7/2-
لأنه عندما نأخذ هذا الى الجانب الآخر، سيصبح
3x ÷ 2-، لذا
سيصبح منحدراً للأسفل
سيبو هكذا
سيكون اكثر حدة من شيئ
ميله -1، لذلك اقرب
اذاً ذلك الخط سيبدو هكذا
وهذا الخط، سيكون y --انني اعيد كتابة هذا--
y = x + 1، اذا كنت محقاً
نعم
لأن هذا ينتقل للجانب الآخر
نقسم كل شيئ على 6
y = x + 1، اذاً سيكون تقاطع y --لقد قلنا
ان هذا كان 3 1/2، وربما اذا كان هذا 1
وميله 1
بالتالي سيبدو هكذا
.
لذلك عندما تحلون نظام معادلات، فأنتم
تبحثون على قيم x و y التي تحقق
كل من هاتان المعادلتان
هذا الخط الارجواني يوضح لنا جميع قيم x و y التي
تحقق هذه المعدلة الخطية الاولى
وهذا الخط الاخضر يوضح جميع قيم x و y التي
تحقق المعادلة الثانية
وبالطبع في مكان تقاطعهما سيتوضح لنا
قيم x و y التي تحققان المعادلتان بالتحديد
هذا ما فعلناه في الجبر 1
لقد حللنا كل من هاتان المعادلتان من اجل ذلك
وقد فعلناه اما بالتعويض، او قمنا بقياسهم
ثم جمعناهم، الى آخره، الى آخره
كما ترى، هذا ما
تعلمناه في حذف غواس-جوردان
انه نفس الشيئ
فعندما استخدمنا حذف غواس جوردان
قمنا بتمثيلها بطريقة مختلفة قليلاً
لكن اعتقد انكم تعلمون ذلك
لكن دعونا الآن نستخدمه في عالم المصفوفات
كيف يمكننا ان نمثل هذه المسألة بصورة مصفوفة؟
يمكننا ان نكتبها هكذا، وسآخذ بعض
الوقت لكي اثبت لكم انه نفس
التمثيل
اذا عرفت المصفوفات بالطريقة التي عرفناهم بها اثناء
الضرب
يمكنك ان تعرف هذه المسألة كالتالي 3, -6, 2, 6
آخذ معاملات 3, -6, 2, 6
واذا اردت ان اضرب ذلك
بمصفوفة متجه العامود xy
.
اذا اردت ان اضع ذلك على انه مساوياً لمصفوفة متجه عامود آخر
7, 6
.
الآن سنوقفه ونحاول
ضرب هذا، بالطريقة التي قد تعلمناها
لضرب المصفوفات
وسترى انك ستحصل على نفس الشيئ
لكني سأفعله الآن، في حال لم تكن
تريد فعل ذلك بنفسك
دعونا نضرب هاتان المصفوفتان
دعونا نضرب هذه المصفوفة ونرى ما سيحدث
اذاً هذا نفس، حسناً، 3 --
ماذا نفعل؟
نأخذ معلومات الصف من المصفوفة الاولى
معلومات العامود من المصفوفة الثانية
وهذا بالطبع حاصل المصفوفة
اذاً هو، 3 × x + 2 × y = 7
حسناً، هذا بالضبط ما كتبناه في الاعلى
3 × x + 2 × y = 7
وبشكل مشابه عندما تضرب الصف السفلي
ستحصل على -6 × x + 6 × y = 6
واذا كان هذا يزعجكم بعض الشيئ، فأقدموا على مراجعة بسيطة
حول كيفية ضرب المصفوفات
لكن اذا ضربتم هذا، ستحصلون على
نفس هذه المعادلات
واتمنى انكم فهمتم ان هذه طريقة اخرى
لتمثيل هذه المسألة
على الرغم من اننا تخصلنا من الاشارات الموجبة
واشارات المساواة
لكن بالطبع علينا ان نعرف التمثيل
لكن لما يعتبر هذا مفيداً؟
لما يعتبر هذا التمثل مفيداً؟
حسناً، دعونا نسمي هذه المصفوفة a
دعونا نسمي هذه المصفوفة a
دعونا نسمي هذا المتجه x
دعونا نسمي هذا المتجه x
انه ليس متغير
انه متجه
لذا ربما سنوضحه، او سنضع رمز المتجه الصغير
هنا او شيئ ما
اي شيئ
لكنك ستراه في الكتاب الدراسي
انه موضح تماماً
ثم سنسمي هذا المتجه b
والمفهوم العام --اذا كنت اتذكره بشكل صحيح-- هو
ان اي شيئ يبدو كمصفوفة او كمتجه قد تم توضيحه
والمصفوفات التي لا تكون متجهات، التي تحتوي على اكثر من
بعد واحد في اي من ابعادها
تكون مكتوبة بأحرف كبيرة
والاحرف الصغيرة السفلية تعبر عن المتجهات
اذاً هذه مصفوفات، لكنها بالاضافة الى ذلك هي متجهات
ولهذا السبب كتبت بأحرف صغيرة سفلية
ولهذا السبب اخذت هذه الاحرف الكبيرة العلوية
هذه اتفاقية
هذه المعادلة تأخذ الشكل ax = b، حيث ان a هو هذه
المصفوفة، و x هذا المتجه --او هذه المصفوفة، نفس الشيئ-- و
b هو متجه هذا العامود
ماذا فعل هذا لنا؟
حسناً، ماذا يحدث اذا عرفنا معكوس a؟
حسناً في الواقع، دعوني اعود خطوة للوراء
اذا كانت هذه اعداد، فماذا سنفعل؟
اذا اعطيتكم معدلة الجبر، ax = b
كيف ستحلها؟
حسناً، ستقسم طرفي المعادلة على a
او بطريقة اخرى، ستضرب طرفي
المعادلة بمعكوس a
فتقول a/1 × ax =
a/1 × b
ثم يتم حذف هذان، ونحصل على x
= b/a
هكذا نقوم بحلها بطريقة معروفة
وبسيطة، اي المعادلة الخطية
فكيف نفعلها هنا؟
حسناً، كيف يتم تقسيم المصفوفات؟
سأعطيكم الاجابة الآن
ما هو الضرب بالمعكوس؟
حسناً، انه ضرب بالمعكوس
ماذا لو كنا نعرف معكوس المصفوفة a؟
يكننا ان نضرب طرفي هذه
المعادلة بمعكوس a
وتذكروا، ان ترتيب العمليات مهم
فهي ليست كما نفعله في المعادلات الطية
فيمكنك ان تضرب 1/a على هذا الجانب
لكن يمكنكم ان تفعلوا ذلك على الجانب الايمن هنا
لكن لا
لاحظوا، وضعتها امام الاعداد في كلا الحالتين
اذاً عليك ان تضعها امام الاعداد في كلا الحالتين
لكن اذا كنا نعرف معكوس a، واذا كان معكوس a موجوداً، بالتالي
يمكننا ان نضرب كلا الطرفين --يمكنك ان تقول الجانب الايسر في كلا
طرفي هذه المعادلة بمعكوس a
.
معكوس a × a × المتجه a = معكوس b
× b
كل ما فعلته هو انني اخذت هذه العبارة، وضربت
كلا طرفيها بمعكوس a
ما هو معكوس a × a؟
حسناً، هذا يكون مصفوفة الوحدة
هذه مصفوفة الوحدة، × x =
معكوس a b
وبالطبع هذا يعطي x
مصفوفة الوحدة × اي مصفوفة اخرى
= تلك المصفوفة
ذلك يساوي المصفوفة x، او المتجه x
× معكوس a b
فاذا اعطيتم معادلة خطية، واذا كنتم تعلمون
معكوس هذه المصفوفة، وحتى تجدوا x و y
سيكون علينا ان نضرب هذا العدد بالمعكوس
وربما ستقول، ان هذا متعب
لأن هذه معادلة خطية بسيطة لكي نحلها
لماذا واجهت كل الامور العصيبة كي اجد المعكوس
ومن ثم اضرب المعكوس بهذا العدد
وسأوافقكم الرأي الى حد ما
هذا بالنسبة لنظام المعادلات 2×2، من الابسط ان
تحلها بالطريقة التي استخدمتها في الجبر 1 او الجبر 2
لكن اذا استخدمتموه في الجبر 3×3، حسناً، ايجاد المصفوفة
سيكون اصعب بقليل بالنسبة لمصفوفة 3×3
لا يزال صعباً
لكن كلما حصلت على اعداد اكبر واكبر، فإنه
في بعض الاوقات --حسناً، ايجاد مصفوفة يمكن ان يكون صعباً ايضاً--
لأنه في الواقع المكان الحقيقي الذي تكون فيه
يسد، لنفترض ان لديك مجموعة من
المعادلات الخطية التي تريد حلها
والجانب الايسر يبقى كما هو
لكنك تستمر في تغيير الجانب الايمن
لذا دعونا نفترض ان لدينا ax = b
ثم لدينا واحدة اخرى كالتالي، ax = c
و ax = d
وتبقى هذه الاعداد تتغير
وهذه الاعداد تبقى نفسها
فإن هذا يفيد في ايجاد المعكوس
ثم انه في كل مرة تحتاج ان تجد فيها حل جديد
سيكون عليك ان تضرب الجانب الايمن الجديد
بالمعكوس، وبهذا تحصل على الاجابة
وهذا حقاً يؤتي ثماره عندما نستعرضه
بطريقة اخرى
لكن على اي حال، اردت ان اوضح لكم ان
هذا نفس الشيئ
اذاً دعونا نحلها باستخدام
معرفتنا عن المصفوفات
دعوني امحو هذا من هنا، وانا اعلم انه لم يتبق الكثر من الوقت
لكن اتمنى انني لا اجعلكم تشعرون بالملل
.
سأبقي ذلك هنا، لأنني اعتقد
انه من الافضل ان يكون لدينا تمثيل بصري
لما نفعل
حتى نتذكر دائماً ماذا يحصل
ما هو معكوس a؟
اولاً، معكوس a يساوي 1 مقسوماً على
محدد a × مساعد هذه المصفوفة
لا اريد ان اكون موهوماً بالمصطلح وكل ذلك، لكن
ما كانت ذلك؟
2×2 سهلة جداً
تقلب هاتان العبارتان، وتحصل على 6 و 3
ثم تجعل هاتان العبارتان سالبتان
اي ان -6 تصبح 6
و 2 تصبح -2
.
وما هو محدد a؟
محدد a = هذا × هذا - هذا
× هذا
اي 3 × 6
3 × 6 = 18 - هذا × هذا
و 6 × 2 = 12
تلك -6
تلك -12
- -12
تصبح موجبة
اذاً 18 + 12 = 30
كم يساوي معكوس a؟
1/30 × هذا
اذاً معكوس a = --يمكننا ان نبقي 1/30 في
الخارج
.
ربما ان هذا يبسط الاشياء
حسناً، في الواقع سأضعه
--كم يساوي معكوس a؟--
هذا مقسوماً على 30
= 1/5، - --في الواقع اريد ان ابقيه
خارجاً، لأن هذا سيجعل
الضرب ابسط
على اي حال، a = 1/30 × 6، - 2, 6, 3
هذا هو معكوس a
الآن عونا نجد x و y
لقد قلنا ان x و y تساوي معكوس b × a
فيمكننا ان نقول ان x --بطريقة اخرى نكتب x بهذا الشكل
x عبارة عن هذا المتجه
x و y
وحتى لا نرتبك، فإن x هذه تختلف عن x تلك
رغم انني كتبتهم نفس الشيئ
اذا كنت طابعاً، فسأجعل من هذا سميك جداً
وكما تعلمون فإن هذا متجه
وربما علي ان اكتب رمز المتجه
لا اعلم
يمكنك فعل عدة اشياء
انه مساوياً لمعكوس a × هذا
ويساوي 1/30
لقد علت ذلك من اجل جمع المصفوفة
لم اقم بتقسيم كل شيئ على 30، لذا
ضرب المصفوفة اسهل بقليل
2،3- × 7/6
7/6
وكم يساوي هذا؟
يساوي 1/30 × --اعلم انني اكدس هذا في الاسفل
هنا-- دعونا نرى
6 × 7 - 2 × 6
6 × 7 = 42
- 2 × 6 = -12
هذا يساوي 30
ثم 6 × 7 + 2 × 6
6 × 7 = 42 مرة اخرى
+ 2 × 6
اذاً 42 + 12 = 50
هل هذا صحيح؟
6 × 7 --اوه آسف
هذه 3
لهذا السبب اكون منزعجاَ
انظروا، لهذا السبب من المهم ان يكون لديكم فن الخط
اذاً 6 × 7 = 42، + 3 × 6
= 42 + 18 = 60
وبالطبع نقسمهما على 30
فنحصل على قيمة x و y النهائية
سأكتبها هنا
لا اريد ان امحو اي شيئ
نحصل على xوy = --نقسم كلاهما على 30--
= 1 و 2
وهذا يوضح ان هاتان المعادلتان الخطيتان
يتقاطعان على النقطة x = 1، و y = 2
يبدو ان هذا احتاج لكمية من الوقت، لكن
لأنني اخذت وقتي لتفسيره وكل هذا
لكن اذا اخذتم ذلك، ومثلتموه بهذه
الطريقة، اوجدتم المعكوس، وضربتم، فلن
يأخذ منكم ذلك الوقت الكثير
وانا احفزكم ان تحلوا ذلك كتمرين
على اي حال، سأراكم في العرض التالي
وفي العرض التالي، سنتناول نفس هذه
المسألة، لكننا سنرى ان هذه البيانات تمثل
مسألة مختلفة
اراكم قريباً
.