Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
دعونا نقوم بحل المزيد من مسائل النهايات
اذاً دعونا نتناول مسألة اخرى
اذا كان لدي حد اقتراب x من 3 لـ --دعونا نفترض--
x^2 - 6x + 9 / x^2 - 9
اذاً اول ما افضل القيام به عندما ارى اي من
مسائل الحدود هذه هو ان اعوض بالعدد و
ارى اذا سأحصل على شيئ منطقي، و
من ثم ننتهي
حسناً، غالباً ما اننا ننتهي
لا اريد ان اجعل هذه العبارات كبيرة
اذا كان الاقتران تاماً، فسننتهي
لكن اذا وضعنا الـ 3 في البسط، فسنحصل على 3^2
اي 9، - 18 + 9
اذاً هذا يساوي 0
والمقام ايضاً --دعونا نرى، 3^2 -
9-- هذا ايضاً يساوي 0
ونحن لا نفضل وجود الـ 0
لقد اختلت اداة القلم مرة اخرى
اذاً لا نفضل الحصول على 0، 0، 0، لذا هل من طريقة تمكننا من
تبسيط هذه العبارة لكي نحصل عليها بصورة عبارة
عندما نقيمها على x = 3، نحصل على
شيئ منطقي؟
حسناً، عندما ارى اثنان من متعددات الحدود هنا، و
يبدوان، عن طريق فحصهما، من السهل
تحليلهما، افضل تحليلهما لأنه ربما يوجد
نفس العامل في البسط والمقام، و
من ثم يكون بامكاننا تبسيطهما
لذا دعونا نفترض ان هذا نفس --يبدو
انه x + 3-- لا، لا، لأ، x - 3
هذا x - 3
في الواقع يبدو انه (x - 3)^3، لكننا
سنكتب (x - 3) (x - 3)، وهو
بالطبع، (x - 3)^2
ثم في المقام، تعلم كيفية تحليل هذه
هذا (x + 3) (x - 3)، صحيح؟
اذاً نهاية اقتراب x من 3 لهذه العبارة هي نفس
نهاية اقتراب x من 3
لهذه العبارة
وبالطبع، لا يوجد شيئ بوسعنا فعله لتغيير حقيقة
ان هذا الاقتران، او هذه العبارة، هي غير معرفة
على x = 3
لكن اذا كان بامكاننا تبسيطها، فيمكننا ان نجد
من ماذا تقترب
حسناً، اذا افترضنا ان x عبارة عن اي عدد باستثناء الـ 3، فيمكننا ان نشطب
هاتين العبارتين لأنه بناء على ذلك لن تكونا 0، اليس كذلك؟
انها تكون 0 فقط عندما x = 3 لأن --اذاً في البسط
والمقام، يمكننا ان نشطب هذا
ويمكن ان نقول --وانا لست دقيقاً جداً هنا، لكن
هكذا تعلمناه، واعتقد انكم تحصلون على
البداهة-- ان هذا يعادل حد
اقتراب x من 3 لـ x- 3 / x+ 3
الآن دعونا نحاول نعوض الـ x ونرى على ماذا سنحصل
حسناً، في البسط، نحصل على 3 - 3
لا زلنا نحصل على 0
لكن في المقام هنا، نحصل على 6، اليس كذلك؟
3 + 3 = 6
اذاً حصلنا الآن على عدد جيد
0 او 6، حسناً، ذلك عدد حقيقي، اذاً هو 0
0/6 = 0
كان ذلك مثيراً للاهتمام
في اول مرة قمنا بهذا، حصلنا على الاجابة 0/0
والآن حصلنا على 0 عن طريق التبسيط
لكن، بالطبع، من المهم ان نتذكر ان
هذه العبارة غير معرفة على x = 3
انها معرفة اينما كان ما عدا، ما عدا اذا اردنا تمثيلها بيانياً، و
انا اشجعكم ان تفعلوا ذلك، حيث انكم سترون انكم كلما
اقتربتم من x = 3، فإن قيمة هذه
العبارة ستساوي 0
وانا اعلم بما تفكرون
حسناً، كان هذا 0/0
هل في كل مرة احصل على 0/0 ستنتهي بـ 0 عندما
اقيم هذه العبارة؟
حسناً، دعونا نوضح هذا
دعوني اوضح هذا
لنقول ما هو --ان القلم لا يعمل-- نهاية
اقتراب x من 1 لـ x^2 - x - 2
.
لا، دعوني اقول x^2 + x - 2
كما ترون، انني اقوم بكل هذا ذهنياً، و
انني معرض للخطأ
وكل ذلك مقسوماً على x - 1
حسناً، مرة اخرى، اذا قمنا بتقييمها، دعونا نرى ماذا
سيحدث عندما x = 1
نحصل على 1^2 + 1، اي 2 - 2
نحصل على 0/0
اذاً مرة اخرى نحصل على 0/0، وعلينا ان نفعل شيئ ما
لتبسيطها
حسناً، دعونا نحلل البسط
اذاً هذا يعادل حد اقتراب x من 1
حسناً، هذا يساوي (x - 1) (x + 2)، اليس كذلك؟
.
واعتقد انكم قد اكتشفتم انه عندما ترون العديد من
مسائل النهايات حتى وان كان هذا العامل العلوي، اذا كانت هذه
العبارة العلوية من الصعب تحليلها، فإن الفرص، واحد من هذه الاشياء
في المقام التي كونت هذه العبارة
غير معرفة لربما تحلل في الاعلى هنا
اذاً في بعض الاوقات ربما ستحصل على شيئ اكثر تعقيداً بحيث لا يكون
من السهل تحليله كهذه، لكن نقطة البداية الجيدة هي ان
تخمن انه واحداً من هذه العوامل سيكون في اسفل
العبارة لأن ذلك هو الخدعة في هذه المسائل
فقط عن طريق تبسيط العبارة
اذاً مرة اخرى، اذا افترضنا ان x لا يساوي 1، و
هذه العبارة لن تكون 0 وهذه لن تكون 0
بالتالي فإنه يمكن حذفهما
ونحصل على ان هذه تعادل نهاية
اقتراب x من 1 لـ x + 2
حسناً، الآن هذا بسيط
ما هي نهاية اقتراب x من 1 لـ x + 2؟
حسناً، تقوم بتعويض الـ 1 هنا، وتحصل على 3
اذاً هذا مثير للاهتمام
عندما حاولنا تقييم العبارة على
x = 1، حصلنا على 0/0
وفي المثال السابق، رأينا انه تم تقييمها عندما
بسطناها الى 0، وفي هذا المثال، اصبحت 3
وانا في الواقع اشجعكم، انه اذا كان لديكم آلة تمثيل بياني
فقوموا بتمثيل هذه الاقترانات بيانياً كما نفعل وانظروا ووضحوا
لأنفسكم بصرياً ان هذا صحيح، اي ان نهاية
اقتراب، x = 1 في الواقع يقترب من
النهايات التي نقوم بايجادها
وقوموا بايجاد مسائلكم
هذا ما افعله
اذاً بامكانكم اثبات هذا لأنفسكم
لذا دعونا نقوم بحل المزيد
دعونا نقوم بحل مسألة اعتقد انها مثيرة للاهتمام
.
لنقل ما هي نهاية اقتراب x من ما لا نهاية؟
نهاية اقتراب x من ما لا نهاية لـ --لنقل-- x^2
+ 3 / x^3
اذاً طريقة تفكيري في هذه المسائل التي تقترب
من ما لا نهاية، هي انني افكر في ما سيحدث عندما تحصلون على
قيم كبيرة جداً لـ x
وكطريقة للخداع تستخدم في حل هذه المسألة هي، اذا كان لديكم
آلة حاسبة، حتى وان لم يكن لديكم آلة حاسبة، لكن
في الاعداد الضخمة هنا
انظروا ماذا يحدث عندما x تساوي مليون، انظروا ماذا يحدث عندما
x تساوي بليون، انظروا ماذا يحدث عندما x تساوي تريليون
واعتقد انكم ستفهمون الفكرة
سترون ماذا --اذا كان يوجد نهاية هنا
سترون ماذا سيحدث
لكن طريقة تفكيري بهذا، في البسط، نوعاً ما
فإن العبارة الاسرع نمواً هنا هي عبارة x^2، اليس كذلك؟
هذه هي العبارة الاسرع نمواً هنا
في المقام، ما هي العبارة الاسرع نمواً؟
حسناً، في المقام، ان العبارة الاسرع نمواً
هي x^3 هذه
حسناً، ما الذي سينمو سريعاً، x^3
او x^2؟
حسناً، x^3 هي ما سينمو
اسرع بقليل من x^2
اذاً هذا المقام، كما تحصلون على
قيم اكبر لـ x، سينمو اسرع من ذلك البسط
اذاً بامكانكم ان تتخيلوا انه اذا كان نمو المقام
اسرع بكثير من البسط، كلما ستحصلون على
اعداد اكبر، ستحصلون على
كسر اصغر، اليس كذلك؟
انه سيقترب من الـ 0
وبهذا كلما اتجهتم الى ما لا نهاية، سيقترب من الـ 0
اعلم انني الوح بيدي، لكن هذه
كيفية تفكيركم في الامر
طريقة اخرى يمكنكم القيام بها هي انه يمكنكم ان
تقسموا هذا الكسر
في الواقع يمكنكم ان تقسموا هذه العبارة النسبية، و
ستحصلون على شيئ مثل 1/x + شيئ ما، شيئ ما
شيئ ما، ومن ثم يمكنكم ايضاً ان ترون، اوه، حسناً، نهاية
اقتراب x من ما لا نهاية لـ 1/x هي ايضاً 0
دعونا نحل مسألة اخرى
سأقوم بحلها سريعاً لكي يكون باستطاعتي ارباككم
نهاية اقتراب x من ما لا نهاية لـ 3x^2 +
x / 4x^2 - 5
.
هذه المسائل تبدو مربكة احياناً، لكن
انها بسيطة بالفعل
عليكم ان تفكروا في ما سيحدث كلما تحصلون على
قيم كبيرة جداً لـ x
حسناً، كلما حصلتم على قيم كبيرة جداً لـ x، فإن هذه العبارات الصغيرة
هذه التي لا تنمو سريعاً كهذه العبارات الكبيرة
فهي لا تهمنا، اليس كذلك، لأنك تحصل على
قيم كبيرة لـ x
وفي هذه الحالة، فإن هذه لا تهم، وبالتالي
عبارتا x هاتان ستنموان بنفس السرعة، اليس كذلك؟
وستنموان دائماً
بنسبة 3 الى 4
اذاً النهاية هنا
انها 3/4
اذاً ما تفعله هو ان تجد ما هي
العبارة الاسرع نمواً في الاعلى، وما هي العبارة الاسرع نمواً
في الاسفل، ومن ثم تجد من ماذا تقترب
اذا كانتا نفس العبارة، بالتالي تحذفان، و
تقول ان النهاية تقترب من 3/4
انها طريقة غير طريقة للحل، لكنها تقودك
للاجابة الصحيحة
اراكم في العرض المقبل
.