Tip:
Highlight text to annotate it
X
الآن وبما ان لدينا ادراكاً بسيطاً
لنظرية الضغط، سوف نستخدم ذلك لاثبات ان نهاية
--سأفعل هذا باللون الاصفر-- نهاية اقتراب x من الـ 0 لجيب
x / x تساوي 1
ويجب ان تكون محتدماً بالتوقع الآن، لأنني
قلت هذا مراراً
اذاً دعونا نقوم بذلك، وفي الواقع، علينا ان نتماشى مع --بكل وضوح
لقد تعلمنا عن علم المثثلثات-- وهو اثبات نظري
لذا دعوني ارسم الربعين الاول والرابع على الاقل
من دائرة الوحدة
سأفعل ذلك باللون الارجواني
دعونا نرى، دعوني ارى اذا كان بامكاني --يجب علي
ان ارسمه كبيراً
دعوني ارى
يجب ان ارسمه بشكل كبير
اذاً سأرسمه بهذا الشكل
.
ذلك قريب للغاية
ومن ثم دعوني ارسم المحاور
هذا هو محور x، سيبدو هكذا
آسف، ذلك محور y
.
هيا بنا
ومن ثم محورx، شيئ ما كهذا
هذه هي دائرة الوحدة
.
هيا بنا
الآن دعوني ارسم مجموعة اشياء اخرى
دعوني ارسم --حسناً، انه نصف قطر، لكنني سوف
انتقل وراء دائرة الوحدة
.
دعونا ننتقل هكذا
ارسم مجموعة من الاشياء الاخرى، لكي نضع هذه المسألة
لا، هذا ليس ما اردت فعله
اردت ان القيام بهذا من هذه النقطة
بهذا الشكل
ثم من هذه النقطة، اريد ان افعل هذا
.
ومن ثم اريد ان ارسم من تلك النقطة
سأفعل ذلك
والآن نحن جاهزون
ماذا قلت اذاً؟
هذه هي دائرة الوحدة، اليس كذلك؟
فاذا كانت هذه دائرة الوحدة، فماذا تعني؟
ان دائرة الوحدة هذه نصف قطرها 1
اذاً المسافة من هنا الى هنا هي 1
والآن اذا كانت هذه الزاوية x في نصف القطر، فما هو طول
هذا الخط الموجود هنا؟
ما هو طول ذلك الخط؟
حسناً، من خلال التعريف، جيب x معرفاً ليكون
احداثي y لأي نقطة على دائرة الوحدة
هذا هو جيب x
.
لقد اقتربت المساحة ان تنفذ لدي، لذا دعوني ارسم سهم
اذاً هذا هو --ذلك هو جيب x
.
دعوني الآن اسألكم سؤالاً صعباً قليلاً
ما مقدار هذا الطول؟
.
حسناً، دعونا نفكر به
ما هو ظل الزاوية؟
دعونا نعود الى تعريف SOHCAHTOA لظل الزاوية
TOA
ظل الزاوية = TOA، اي المقابل / المجاور
اذاً ما هو ظل x؟
.
حسناً، سيساوي --يمكننا ان نأخذ هذا-- اذا قلنا
ان هذا هو المثلث القائم، فسيكون
طول هذا المقابل / المجاور، اليس كذلك؟
لذا دعونا نسمي هذا الطول الموجود هنا، دعونا نسميه
o نسبة الى المقابل
لكن ما هو طول المجاور؟
ما هو طول هذه القاعدة لهذا المثلث الاكبر؟
حسناً، انها دائرة الوحدة، اليس كذلك؟
اذاً المسافة من هنا الى هنا --تلك المسافة
ايضاً ستكون 1، اليس كذلك؟
لأنه مرة اخرى عبارة عن نصف القطر
تساوي 1
اذاً المقابل / المجاور = ظل الزاوية x
لكن المقابل / المجاور --ظل الزاوية هو 1، اليس كذلك؟
اذاً الضلع المقابل، اي هذا الضلع الموجود هنا، سيكون
مساوياً لظل زاوية x
او بطريقة اخرى، ان ظل زاوية x يساوي هذا
الضلع / 1، او ان ظل الزاوية x مساوياً لهذا الضلع
دعوني اكتب هذا
ذلك الضلع يساوي ظل الزاوية x
.
الآن، دعونا نفكر بمساحة مجموعة من اجزاء هذا
الشكل الذي قمت برسمه هنا
ربما يتوجب علي ان ارسمه بشكل اكبر، لكنني اعتقد
اننا قادرون على ذلك
اذاً اولاً دعوني اختار مثلثاً صغيراً
لنأخذ هذا المثلث الموجود هنا
سأحدده باللون الاخضر
اذاً هذا المثلث الذي اقوم بتحديده باللون الاخضر --ما هي
مساحة ذلك المثلث؟
حسناً، ستكون 1/2 × القاعدة × الارتفاع
اذاً هي 1/2 × القاعدة، اي 1
اليس كذلك؟
انها بالنسبة للمثلث كاملاً
ثم ما هو ارتفاعه؟
حسناً، لقد اوجدنا ان هذا الارتفاع الموجود هنا، ان
ذلك الارتفاع عبارة عن جيب x
× جيب x
.
وهذا بالنسبة لذلك المثلث الاخضر، اليس كذلك؟
الآن، ما هي مساحة --ليس ذلك المثلث الاخضر
دعوني ارسمه بلون آخر
دعوني ارسمه باللون --اوه، سأرسمه باللون الاحمر
ما هي مساحة pi هذا؟
pi الموجود هنا
pi ذلك
اتمنى انكم ترون --حسناً، انه ليس لون مختلف تماماً
اذاً pi هذا الموجود هنا
او انني سأنتقل الى هنا
ومن ثم انتقل على القوس
انه اكبر بقليل من المثلث الذي
اوجدناه، اليس كذلك؟
سيكون دائماً اقل بقليل، لأنه
يتضمن هذه المساحة التي تقع بين ذلك المثلث والقوس، اليس كذلك؟
ما هي مساحة القوس؟
.
حسناً، اذا كانت هذه الزاوية هي x --انها x راديان-- ما هو الكسر
لذلك والذي يقع خارج دائرة الوحدة؟
حسناً، يوجد 2pi راديان بالمجمل في دائرة الوحدة، اليس كذلك؟
اذاً هذه المساحة كم تساوي؟
ستكون مساوية لكسر x من اجمالي
الراديان في دائرة الوحدة، اليس كذلك؟
اذاً هي x راديان / 2 pi راديان في
دائرة الوحدة كلها
اذاً هذا هو الكسر الذي --كما تعلمون، انه اذا
حسبتموه بالدرجة-- فإن الكسر المقسوم على 360
درجة، × مساحة الدائرة الكلية، اليس كذلك؟
هذا يوضح لنا الكسر الذي لدينا من الدائرة، و
سوف نضرب ذلك بمساحة
الدائرة الكلية
حسناً، ما هي المساحة الكلية للدائرة؟
حسناً، المساحة هي ( pi r)^2، نصف القطر هو 1، اليس كذلك؟
اذاً مساحة الدائرة الكلية ستكون pi
.
(pi r)^2، و r = 1، اذاً مساحة الدائرة --اذاً
مساحة هذا الوتد ستساوي
--تلك الـ pi يتم حذفهم-- يساوي x / 2
هذا بالنسبة للمثلث الاول الصغير، اي ذلك المثلث الاخضر
ما فعلناه هو جيب x
1/2 جيب x، تلك هي مساحة ذلك المثلث الاخضر
ثم المساحة الاكبر بقليل من هذا الوتد هي --لقد اوجدناها
الآن-- هي x / 2
والآن دعونا نأخذ مساحة ذلك المثلث الاكبر
من هذا المثلث الكبير الموجود هنا
ويمكن ان يكون هذا الاكثر وضوحاً
اذاً 1/2 القاعدة × الارتفاع
اذاً ذلك 1/ 2 -- القاعدة مرة اخرى هي 1-- 1 ×
الارتفاع، اي ظل زاوية x
= 1/2 ظل x
الآن يجب ان يكون واضحاً عن طريق النظر الى هذا الرسم البياني، لا
يهم اي رسمت هذا الخط العلوي، بما ان هذا المثلث الاخضر
له مساحة اصغر من هذا الوتد، الذي لديه مساحة اصغر
من هذا المثلث الكبير
اليس كذلك؟
اذاً دعونا نكتب متباينة توضح ذلك
المثلث الاخضر --مساحة المثلث الاخضر-- 1/2
جيب الزاوية x، تلك هي مساحة المثلث الاخضر --انها
اقل من مساحة هذا الوتد
اذاً هذا يساوي x / 2
وكلاهما اقل من مساحة هذا
المثلث الكبير، اليس كذلك؟
وهي 1/2 ظل زاوية x
.
الآن متى يكون هذا صحيحاً؟
هذا صحيح طالما اننا في الربع الاول، اليس كذلك؟
طالما اننا في الربع الاول
انه صحيح ايضاً اذا انتقلنا الى الربع الرابع
باستثناء انه بالتالي يصبح جيب الزاوية x سالباً، ظل الزاوية
x يصبح سالباً، و x تصبح سالبة
لكن اذا اخذنا القيمة المطلقة لكل شيئ، فسيبقى
موجوداً في الربع الرابع
لأنه اذا اصبح سالباً، طالما انا اخذنا القيمة المطلقة
بالتالي فإن المسافة لا تزال موجودة ولا يزال لدينا
مساحات موجودة وكل هذا
اذاً بما ان هدفي هو اخذ نهاية اقتراب x من الـ 0، و
اريد ان آخذ نهاية --لكي تصبح هذه النهاية
معرفة بشكل عام، يجب ان يكون صحيحاً من كل من
الجانب الموجب والسالب
دعونا نأخذ القيمة المطلقة لكلا جانبي هذا
واتمنى ان هذا يعد منطقياً بالنسبة لكم
اذا اردت ان ارسم الخط هنا --وهذا سيكون
جيب الزاوية x، وذلك سيكون ظل الزاوية x --طالما
انك تأخذ القيمة المطلقة لكل شيئ، فأنت
تفعل نفس الشيئ كما في الربع الاول
لذا دعونا نأخذ القيمة المطلقة لكل شيئ
وهذا لا يجب ان يغير من اي شيئ، بشكل خاص اذا كنت
في الربع الاول
وربما انك تريد ان تفكر به قليلاً، لماذا
لا يغير اي شيئ في الربع الثاني
اذاً لدينا هذه المتباينة
دعونا نرى اذا كان بامكاننا التلاعب بهذا
اولاً، دعونا نضرب كل شيئ بـ 2
ونتخلص من الـ 1/2
اذاً نحصل على |جيب x| <
|x|، وهي اقل من
|ظل الزاوية x|
اتمنى انني لا اربككم بأخذ القيمة المطلقة
تلك المتباينة لاصلية التي كتبتها كانت صالحة تماماً في
الربع الاول، لكن بما انني اريد ان تكون هذه المتباينة صحيحة
في الربعين الاول والرابع، لأنني آخذ
نهاية اقتراب x من الصفر من كلا الجانبين، فأضع تلك
القيمة المطلقة هنا
اذاً بامكانك رسم الخط هنا وتفعل كل شيئ فعلناه
في الاعلى هنا في الربع الرابع، لكن خذ
القيمة المطلقة ةيجب ان تنجح بنفس الطريقة
على اي حال، دعونا نعود الى المسألة
لدينا هذه المتباينة
وقد نفذت المساحة لدي، لذا دعوني امحو بعض
من هذا
.
امحو
امحو
.
اتمنى ان لا امحو ذلك
حسناً
هذا يجب ان امحوه
حسناً
اذاً بامكاننا ان نمسح كل شيئ تطلب منا وقتاً طويلاً
ولا يمكننا نسيان ذلك
لقد حصلنا على مساحة جيدة
حسناً
اذاً دعونا نأخذ هذا، ودعونا نأخذ تلك العبارة، و
نقسم جميع الاطراف
نحن نعلم، وهي تحتوي على ثلاث اطراف، اليسار
الوسط، واليمين
دعونا نقسمهم جميعاً على |جيب x|
وبما اننا نعلم ان |جيب x| عبارة عن
عدد موجب، نعلم ان رمز الاقل من هذه
لا تتغير، اليس كذلك؟
لنقم بذلك اذاً
|جيب x| ÷
|جيب x|، حسناً، هذا يساوي 1
.
وهو اقل من |x| ÷
|جيب x|
.
وهو بدوره اقل من --ما هي القيمة المطلقة لـ-- اذاً كل
ما افعله هو انني آخذ |جيب x|
|جيب x|، |جيب x|
اذاً ما ناتج |ظل الزاوية x| ÷
|جيب x|؟
حسناً، ان الظل عبارة عن الجيب / جيب التمام
اذاً هذا يساوي --سأقوم بعمل بهذا الجزء هنا
هذا يساوي الجيب / جيب التمام ÷ الجيب
وتعلمون، انه يمكنكم القول ان هذا يعادل
القيمة المطلقة
والقيمة المطلقة ÷ القيمة المطلقة
ماذا يتبقى لدينا؟
حسناً، يتبقى لدينا 1 / --هذا يحذف مع
هذا، فيصبح 1-- 1 /
|جيب التمام لـ x|
اذاً لربما انك تشعر اننا اقتربنا
لأن هذا يبدو مثل هذا تقريباً، انه عبارة عن مقلوبه
اذاً لكي نصل الى هذا، دعونا نقلبه
ولكي نقلبه، ماذا يحدث؟
حسناً، اولاً، ماذا يحدث عندما نقلب الـ 1؟
حسناً، 1/1 = 1
لكنك عندما تقلب طرفي المتباينة، فأنت تعكس
المتباينة، اليس كذلك؟
واذا لم يكن هذا منطقياً بالنسبة لكم، فكروا بهذا
تعلمون انه اذا قلنا ان 1/2 < 2، وقلبت طرفي
ذلك، سأحصل على 2 > 1/2
اتمنى ان ذلك قد اعطاكم بعضاً من البداهة
فاذا كنت اقلب جميع اطراف هذه المتباينة
فعلي ان اعكس اشارات المتباينة
اذاً 1 > |جيب x| /
|x| وهذا بدوره اكبر من
|جيب تمام الزاوية x|
الآن اسمحوا لي ان اطرح سؤالاً
|جيب x| / حسناً، اولاً
جيب x / x
هل حصل وان كان جيب x / x --في
الربع الاول او الرابع-- هل حصل مرة وان كان
جيب x / x عبارة سالبة؟
حسناً، في الربع الاول، جيب x موجب
و x سالب
اذاً موجب ÷ موجب
= موجب
وفي الربع الرابع، جيب x سالب، y
سالب، والزاوية سالبة، اذاً x
ايضاً سالب
اذاً في الربع الرابع، جيب x / x سيكون
سالب ÷ سالب
لذا سيكون موجباُ مرة اخرى
اذاً جيب x / x سيكون دائماً موجب
اذاً رموز القيمة المطلقة تعتبر شيئ زائد عن الحاجة
لذا يمكننا ان نكتب 1 > جيب x / x
وبنفس المنطق، في الربع الاول والرابع
--وهذا ما كنا نتعامل معها
كنا نتعامل مع pi / 2 < x-، وهذا
اقل من pi / 2
اذاً نحن ننتقل من pi / 2-
وصولاً الى pi / 2
اي اننا في الربع الرابع والاول
هل جيب تمام الزاوية x سالب؟
حسناً، ان جيب التمام عبارة عن قيمة x، و x --بحسب التعريف، في
الربعين الاول والرابع-- قيمة x
موجبة دائماً
فاذا كانت موجبة دائماً، سيمكننا التخلص من
رموز القيمة المطلقة هنا، ونكتب هذا فقط
والآن، نحن جاهزون لاستخدام نظرية الضغط
دعوني امحو جميع هذا الموجود هنا الآن
.
دعوني اسألكم سؤالاً
ما هي نهاية، اقتراب x من الصفر
للاقتران 1؟
حسناً، الاقتران 1 دائماً ما يساوي 1
لذا يمكنني ان اضع نهاية اقتراب x من ما لا نهاية، نهاية
اقتراب x من pi، اي شيئ
هذا دائماً ما يساوي 1
اذاً كلما يقترب x من الصفر، فإن هذا يساوي 1
وبالتالي ما هي نهاية اقتراب x من الصفر، لجيب تمام الزاوية x؟
حسناً، هذا بسيط ايضاً
كلما اقترب x من الصفر، فإن جيب تمام الصفر يساوي 1 --وكلما اقتربت
كما تعلم، انه اقتران تام-- اذاً النهاية هي 1
اذاً نحن جاهزون لاستخدام نظرية الضغط
كلما اقتربنا من الصفر، كلما اقترب x من الصفر، فإن هذا
الاقتران يقترب من الـ 1
هذا الاقتران يقترب من الـ 1
وهذا الاقتران، هذه العبارة، تقع
بين الاثنتين
واذا كانت تقع بينهما، فكلما اقتربنا --هذا
يقترب من الـ 1 كلما اقتربنا من الصفر، هذا يقترب من الـ 1 كلما
اقتربنا من الصفر، وهذا يقع بينهما، لذا يجب ايضاً ان
يقترب من الـ 1 كلما اقتربنا من الصفر
وبذلك نستخدم نظرية الضغط استناداً الى هذا وهذا
ويمكنك ان تقول، كما تعلم، ان هذا بناء على نظرية الضغط
لأن هذا صحيح، هذا صحيح، وهذا صحيح
جيب الزاوية x / x ، نهاية اقتراب x من الصفر = 1
اذاً اتمنى ان هذا اعطاكم البداهة
كانت تلك طريقة اخر، كلما صغر هذا الخط
سيقترب من الصفر، كلما اقترب x من الصفر، حيث
تغطي المساحة وهذه المساحة، اذاً المساحة التي تقع في المنتصف يجب
ان تغطي كلاهما
واذا اردتم ان ترونها ممثلة بيانياً، فأنا
قد مثلتها بيانياً هناك
دعوني ارى اذا كان بامكاني ان امثل ذلك الشيئ بيانياً
سأوضح لكم التمثيل البياني
لكي تصدقوني
لقد قلنا ان الـ 1 دائماً اكبر من جيب x ذلك، والذي
دائماً اكبر من جيب تمام الـ x، بين -pi
/ 2 و pi/2
وبالطبع، ان هذا غير معرف على x = 0
لكن بامكاننا ان نجد النهاية
انها موجودة لدينا هنا
هذا الخط الازرق الموجد هنا، عبارة عن الاقتران 1
ذلك y = 1
الخط الازرق الفاتح هذا عبارة عن جيب تمام الزاوية x
وهذا هو التمثيل البياني لجيب الزاوية x/x
اويمكنكم ان ترون انني قد كتبته هنا
اذاً جيب x/x، بين pi / 2- و pi /
2، او الربعين الاول والرابع، الخط الاحمر
دائماً يقع فيالمنتصف
انه دائماً يقع بين الخط الازرق الداكن والازرق الفاتح
وبهذا فإن تلك بداهة لما يحدث
بنظرية الضغط
نحن نعلم ان النهاية، كلما اقترب هذا الخط الازرق الفاتح
من الصفر، هي 1
ونعلم ان نهاية اقتراب هذا الخط الازرق الداكن العلوي
من الصفر هي 1
وهذا الخط الاحمر دائماً يقع بينها، اذاً هي
ايضاً تقترب من الـ 1
بهذا تكونون قد حصلتم عليها
البرهان، باستخدام نظرية الضغط، وبعضاً من
نظرية المثلثات بصرياً، لماذا النهية، كلما اقترب x من الصفر
لجيب x / x تساوي 1
اتمنى انني لم اربككم