Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
دعونا نرى اذا كان يمكننا ان نتعلم شيئ او اثنين عن
امتداد الكسر الجزئي، او ما يسمى احياناً
بتجزئة الكسر الجزئي
امتداد الكسر الجزئي
الفكرة بمجملها هي اخذ الاقترانات النسبية --و
الاقتران النسبي عبارة عن اقتران او عبارة بحيث
تكون عبارة فيها مقسومة بواسطة اخرى-- وحتى
نقوم بمدهم او تجزئتهم الى اجزاء اصغر
والشيئ الاول الذي سنفعله، قبل ان
نبدأ بعملية مد الكسر الجزئي، هو
التأكد من ان للبسط درجة اقل
من المقام
في هذه الحالة، او في هذه المسألة، التي رسمتها هنا
لقد كتبت هنا، ان هذه ليست الحالة التي اتحدث عنها
البسط له نفس درجة المقام
اول خطوة نود القيام بها لكي نبسط هذا ونحصل
على بسط درجته اقل
من المقام، هي القيام ببعض
القسمة الجبرية
وقد صممت عرضاً حول هذا، لكن ليس من الخطأ ان نجري
مراجعة هنا، اذاً لكي نفعل ذلك، نقسم المقام على
البسط لكي نجد الباقي، اذاً نقسم
x^2 - 3x - 40 ÷ x^2 - 2x - 37
كم يكون خارج القسمة؟
ننظر الى العبارة التي لها اعلى درجة، اذاً x^2 ÷ x^2
= 1، 1 × كل هذا = x^2
- 3x - 40، والآن سنطرح هذا من
ذلك لكي نحصل على الباقي
وانظروا، اذا كنت اطرح، فسأطرح و
سالب السالب يعطي موجب، موجب، ثم يكون بامكانك ان تجمعهم
هذان يتم حذفهما
2x + 3x = x-
-37 + 40 = 3
اذاً هذه العبارة يمكن ان تعاد كتابتها فتصبح --دعوني انزل
الى الاسفل قليلاً-- تصبح 1 + x + 3/x^2
3x - 40-
ان هذا يبدو شيئ سحري، لكن
لا يوجد فرق عن ما فعلته في الصف الرابع او الخامس
حيث تعلمتم كيفية تحويل الكسور غير الحقيقية
الى اعداد مركبة
دعوني اقوم بحل مثال في هذه الزاوية
اذا كان لدي 13/2، واريد تحويله الى عدد مركب
ما تفعله --يمكنك القيام بذلك ذهنياً الآن-- لكن
ما تقعله هو، ان تقسم المقام على البسط
كما فعلت هنا
13 ÷ 2
13 ÷ 2 = 6، 6 × 2 = 12
نطرح هذا من ذلك، ونحصل على الباقي 1
1 لا يقبل القسمة على 2، اذاً هذا هو الباقي
فاذا اردتم اعادة كتابته، سيكون خارج
قسمة المقام على البسط وهو 6، +
الباقي مقسوماً على المقام
+ 6 --+ 1/2
وعندما تقعل ذلك في المدرسة الابتدائية، سوف
تكتب فقط 6 1/2، لكن 6 1/2 يعادل 6 + 1/2
وهذا بالضبط ما فعلناه هنا
المقام يقسم على البسط ويكون الناتج 1، و
كان هنالك باقي هو x + 3، اذاً الناتج 1 + x
+ 3 / هذه العبارة
الآن كما نرى ان البسط في هذه العبارة النسبية
يمتلك درجة اقل من المقام
اعلى درجة هنا هي 1، واعلى درجة هنا هي 2
اذاً نحن جاهزون للبدء في تحليل الكسر الجزئي
وكل ذلك عبارة عن، اخذ هذه العبارة وتحويلها
الى عبارتان متشابهتان حيث تكون المقامات
عوامل للعبارة ذات الدرجة الاقل
وبهذا دعونا نحلل هذه العبارة ذات الدرجة الاقل
لنرى ذلك
ما هما العددان اللذان مجموعها -3، وعندما تضربهما
تحصل على -40؟
دعونا نرى
يجب ان يكونا مختلفين بالاشارة، لأنه عندما
تضربهم ستحصل على عدد سالب، لذا يجب ان
يكون -8 وموجب 5
يمكننا اعادة كتابتها كالتالي --سأغير الالوان--
1 + x + 3/ (x + 5) (x - 8)
5 × 8 = 40 --5 × -8 = -40، + 5
- 8 = -3
الآن سوف اركز على هذا الجزء
بامكاننا ان نتذكر ان ذلك الـ 1 يقع
في الخارج
هذه العبارة التي نريد تجزيئها او مدها
وسوف نعمل على مدها الى عبارتان متشابهتان
حيث تكون كل واحدة منهما --وسوف اضع
الشرط، واذا نجح العددان فسوف يكون الشرط
صحيحاً-- سأضع الشرط الذي سيمكنني ان امدها، او اجزئها
الى كسرين بحيث يكون الكسر الاول عبارة عن
a / العامل الاول، اي / x + 5، +
b / العامل الثاني، اي / x - 8
هذا هو الشرط، واذا كان بالامكان ان اجد قيمة a و b بطريقة ما
بحيث يكون مجموعهما عبارة عن هذا، بالتالي اكون انتهيت واكون قد
جزأت هذا الكسر
سأخمن الطريقة --لا اعلم اذا كان هذا
المصطلح صحيح
دعونا نحاول فعل ذلك
اذا اردت ان اجمع هاتان العبارتان، على ماذا سأحصل؟
عندما تجمع اي شيئ، تعمل على توحيد المقام، و
توحيد المقام، او ابسط طريقة لتوحيد المقام هي ان
تضرب المقامين، لذا دعوني اكتب هذا هنا
اذاً a / x + 5 + b / x - 8 هذا يساوي
--حسناً، دعونا نحصل على المقام الموحد-- يساوي
(x + 5) (x - 8)
ثم عبارة a، سوف --a / x + 5 تعادل
a (x - 8) / هذا كله
اعني، اذا كتبت هذا فقط، فسوف
نحذف هاتان العبارتان ونحصل على a / x + 5
ثم يكون بامكانك ان تجمع ذلك مع المقام الموحد، اي (x +
5) (x - 8)، وسيكون b (x + 5(
من المهم ان تدرك ذلك، انظر
هذه العبارة تعادل هذه العبارة اذا
حذفت الـ x - 8، وهذه العبارة تعادل
هذه العبارة اذا حذفتم x + 5
لكن الآن بما ان لدينا مقاماً موحداً، فيمكننا ان نجمعهم
فنحصل على --دعوني اكتب الجانب الايسر
هنا-- a / x + 5-- انا آسف
اريد كتابة هذا هنا
سأكتب x + 3 / 5 (x - 8( =
مجموع هذان الموجودان في الاعلى
a (x - 8 + b) (x + 5(، جميع ذلك مقسوماً على
المقام الموحد، اي (x + 5) (x - 8)
اذاً المقامات متشابهة، ونحن نعلم ان هذا
عندما نجمعهما، علينا ان نحصل على هذا
فاذا اردت ان اجد قيمة a و b، دعونا
نضع اشارة مساواة
بامكاننا ان نتجاهل المقامات
ويمكن ان نقول ان x + 3 = a
(x - 8 + b) (x + 5)
الآن، هناك طريقتان لايجاد a و b من
هذه النقطة
الطريقة الاولى والتي تعلمتها في الصف السابع
او الثامن، وهي تتطلب وقتاً اطول، ثم
ان هناك طريقة اسرع لفعل ذلك وليس من الخطأ ان تقوموا
بالطريقة الاسرع اولاً
اذا اردتم ايجاد a، دعونا نختار قيمة لـ x
تجعل هذه العبارة تختفي
ما هي قيمة x التي ستخفي هذه العبارة؟
حسناً، اذا افترضنا ان x = -5، فإن هذه تصبح 0، و
يختفي الـ b
اذا افترضنا ان x = -5 --انني اتار قيمة لـ x بشكل عشوائي لكي
اجد قيمة هذا-- فستصبح هذه -5
+ 3 --دعوني اكتب ذلك، -5 + 3-- =
a (-5 - 8) --دعوني اكتب ذلك
-5 - 8-- + b (-5 + 5)
وقد اخترت -5 حتى اجعل من هذه العبارة 0
ثم نحصل على --سأختار لون اوضح- -5 +
3 = -2، = --ما هذا؟-- -13a
+ --هذه 0، صحيح؟
هذا 0
-5 + 5 = 0، 0 × b = 0، ثم نقسم كلا
الطرفين على -13، ونحصل على --تحذف الاشارات السالبة-- نحصل على
2/13 = a، والآن يمكننا ان نفعل نفس الشيئ في الاعلى
هنا ونتخلص من عبارات a من خلال جعل x يساوي 8
اذا كان x = 8، سنحصل على x + 3 = 11، =
a (0 + b) × --ما هي الـ5-- 8 + 5
--+ b × 13
يبدو ان b يساوي 13
ثم نحصل على 11 = 13b، نقسم كلا الطرفين على 13
فنحصل على b = 11/13
الآن نحن قادرون على ايجاد قيمة a و b
ويمكننا العودة الى المعادلة الاصلية
ونقول، يا الهي
هذا يجب ان يساوي 2/13، وهذا يجب
ان يساوي 11/13
--فاذا كان لدي--
اذاً الشيئ الاصلي الذي كتبناه في الاعلى
يمكن ان يجزئ الى 1، هذا الـ 1 الموجود هنا، +
هذا، اي 2/13 --سأكتبه هكذا
الآن-- 2/13 / x + 5
يمكنك ان تنزل الـ 13 هنا اذا اردت ان تكتبه
دون ان نحصل على كسر مقسوماً على كسر
+ 11 / 13 × --/ x - 8--
ومرة اخرى، يمكنك ان تنزل الـ 13 كي لا تحصل على
كسر مقسوماً على كسر
لكننا قد جزأنا هذا بنجاح
--لا اريد ان اقول اننا بحاجة لتبسيط هذا
لأنه يمكن ان نقول ان لدينا عبارة واحدة هنا فقط
الآن لدي ثلاث --لكني قمت بتقليل درجة كل من
البسوط والمقامات
وربما تقول، لماذا
علي القيام بذلك؟
وانت محق
ربما لا يتوجب عليك ذلك في الجبر
لكن هذا اسلوب مفيد لاحقاً عندما
تصل الى التفاضل والتكامل، و
المعادلات التفاضلية، لأنه معظم الوقت من الابسط --و
سأعطيكم كلمة هنا ربما لن تفهموها-- حتى نأخذ
التكامل او المشتق العكسي
لشيئ كهذا، ثم شيئ هكذا
ولاحقاً، عندما تقومون بمعكوس تحويل لابلاس و
المعادلات التفاضلية، سيكون من الابسط ان تأخذوا معكوس
تحويل لابلاس لشيئ كهذا، ابسط من
شيئ كهذا
على اي حال، اتمنى انني قد اعطيتكم اداة اخرى تلزمكم في
--او اداة اخرى من مجموعة الادوات اللازمة، وربما سأصمم
مجموعة ارى من العروض لأننا لم نرهق من جميع
الامثلة التي يمكن ان نوضحها عن
تجزيئ الكسر الجزئي
.